Задание 11 ЕГЭ по математике (база) 2027: объёмы и поверхности в практических задачах

Объём показывает, сколько пространства занимает тело или жидкость. Площадь поверхности нужна, когда речь идёт о покраске, обшивке или сумме площадей внешних граней. Число граней — целое количество плоских частей границы многогранника. Эти вопросы нельзя решать одной формулой.

Не подменяйте термин «грань» словами «ребро» или «вершина». Грань — плоская часть поверхности, ребро — отрезок встречи двух граней, вершина — точка встречи рёбер. В перспективном рисунке некоторые элементы невидимы, но от этого не исчезают у самого тела.

У прямой призмы и цилиндра объём равен произведению площади основания на высоту. Важно сначала вычислить именно площадь основания. У цилиндра в неё входит квадрат радиуса, у правильной четырёхугольной призмы — квадрат стороны основания.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. У куба они равны. Для пирамиды и конуса с теми же площадью основания и высотой появляется множитель одна треть.

Высота тела — перпендикулярное расстояние между соответствующими плоскостями или от вершины до основания. Наклонное боковое ребро пирамиды и образующая конуса обычно не равны высоте. Если дан такой отрезок, найдите прямоугольный треугольник, который связывает его с высотой.

Если воду переливают без потерь из одного сосуда в другой, объём остаётся прежним. В сосудах с постоянным горизонтальным сечением это даёт равенство произведений площади основания и высоты воды.

Высота обратно пропорциональна площади основания: при более широком основании тот же объём образует более низкий слой. Если меняется радиус цилиндра, сначала найдите изменение площади круга. Увеличение радиуса в несколько раз нельзя напрямую переносить на изменение высоты.

При погружении детали бак остаётся тем же. Если вода не вылилась и деталь погружена полностью, её объём равен площади основания, умноженной на подъём уровня. Используйте разность уровней, а не новый уровень целиком.

Эти рассуждения относятся к сосудам с постоянным сечением по высоте. У конуса или сосуда с наклонными стенками одинаковый подъём уровня не соответствует одинаковому добавленному объёму. Сначала прочитайте форму сосуда, затем применяйте пропорцию.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани попарно равны. Поэтому полная площадь поверхности равна удвоенной сумме трёх разных площадей. У куба достаточно умножить площадь одного квадрата на число граней.

Если два тела соединены по общей плоской области, эта область становится внутренней. В сумме первоначальных площадей она учтена дважды — по разу у каждого тела. Поэтому при вычислении внешней поверхности обе копии вычитают.

Если считают грани, а не их площади, механическое вычитание двух граней подходит не всегда. Соседние части, лежащие в одной плоскости, могут объединиться в одну грань. Осмотрите полученное тело: нужно считать его внешние плоские части, а не сохранять названия граней исходных деталей.

Боковая и полная поверхности различаются. Полная включает все внешние основания. У открытого бака верхней крышки нет, но выражение «площадь поверхности детали» обычно требует всю её внешнюю поверхность. Следуйте точной формулировке, не убирайте нижнюю грань только потому, что на рисунке она невидима.

При увеличении всех линейных размеров в одном отношении площади растут как квадрат коэффициента, а объёмы — как куб. Если меняется только одно измерение, применяйте исходную формулу: правило куба к такому изменению не относится.

Литр — единица объёма. Один литр равен одному кубическому дециметру, то есть тысяче кубических сантиметров. При переводе кубических метров в кубические сантиметры коэффициент перевода длины возводят в куб.

Если размеры тела даны в сантиметрах, произведение трёх длин уже выражено в кубических сантиметрах. Повторно умножать его на тысячу не нужно. Перевод выполняют только тогда, когда полученная единица отличается от требуемой в ответе.

11

Задание 11

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

К кубу с ребром, равным $1$, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной $1$, так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника? Невидимые рёбра на рисунке не изображены.

У куба шесть квадратных граней, у пирамиды — квадратное основание и четыре боковых треугольника. Верхняя грань куба и основание пирамиды перестают быть внешними. Остаются пять квадратных и четыре треугольные грани.

Ответ: $9$. Проверка по частям тела: снизу один квадрат, по бокам куба четыре квадрата, сверху четыре наклонных треугольника. Они не объединяются в одну плоскость с вертикальными гранями куба. Невидимые на рисунке грани тоже входят в счёт.

Размер ребра здесь помогает понять совпадение квадратов. Вычислять объём или площадь каждой грани не требуется: вопрос относится к устройству поверхности.

11

Задание 11

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

Деталь имеет форму изображённого многогранника, все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Разделим тело горизонтальной плоскостью на два прямоугольных параллелепипеда. Нижний имеет размеры $4\times4\times1$, верхний — $2\times4\times1$. Площадь их контакта равна $2\cdot4=8$ квадратным сантиметрам.

Ответ: $60$. Вычитаем контакт дважды: нижнее тело дало верхнюю внутреннюю площадку, а верхнее — нижнюю. В окончательной поверхности ни одна из них не видна снаружи.

Независимая проверка через сечение: передняя ступенчатая грань имеет площадь $4\cdot1+2\cdot1=6$ и периметр $12$. Деталь — прямая призма глубиной $4$, поэтому площадь всей поверхности равна $2\cdot6+12\cdot4=60$. Получен тот же результат.

11

Задание 11

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h=50$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два с половиной раза больше? Ответ дайте в сантиметрах.

Площадь основания зависит от квадрата радиуса. У нового цилиндра она больше в $2{,}5^2=6{,}25$ раз. Чтобы сохранить прежний объём, высота уменьшается в столько же раз.

Ответ: $8$. Проверка: $6{,}25\cdot8=50$. Более широкое основание компенсирует меньшую высоту, и произведение площади на высоту остаётся тем же. Деление только на $2{,}5$ сохранило бы неверное отношение площадей.

Повторите названия тел, граней, рёбер и вершин. Для куба, призмы и пирамиды нарисуйте видимые и невидимые элементы. Чередуйте вопросы о количестве граней, площади и объёме, чтобы каждый раз сознательно выбирать искомую величину.

Не ограничивайтесь заучиванием названий. Объясняйте, какие плоские фигуры образуют основания и боковые грани и какие размеры нужны для их площадей.

Тренируйте объём призмы и цилиндра, погружение предмета и переливание. В каждой задаче записывайте сохраняющуюся величину до уравнения. Отдельно повторите перевод литров и кубических единиц.

Сравнивайте изменение радиуса, площади основания и высоты воды в трёх отдельных шагах. Эта запись помогает не потерять квадрат коэффициента.

Разбивайте детали на знакомые тела и отмечайте область контакта. Для небольшой детали попробуйте два способа: сумму поверхностей с вычитанием контакта и непосредственный подсчёт внешних площадей.

В задачах на число граней отдельно проверяйте, не сливаются ли соседние части в одну плоскость. Не переносите правило подсчёта площадей автоматически на количество граней.

Решайте задачи без указания темы. Ориентир ФИПИ для задания 11 — одиннадцать минут. Включайте в это время чтение рисунка, вычисление, проверку единиц и запись ответа.

После ошибки вернитесь к самой ранней неверной мысли: неправильное тело, не та величина, потерянная поверхность или арифметика. Через несколько дней повторите задачу без открытого разбора.