Задание 17 ЕГЭ по математике (база) 2027: уравнения

Область допустимых значений, или ОДЗ, состоит из чисел, при которых исходная запись имеет смысл. Знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение квадратного корня неотрицательно, аргумент логарифма положителен. Ограничения нужно брать из исходного уравнения: после сокращения запрещённое значение может исчезнуть из записи, но не стать допустимым.

Прибавление одного выражения к обеим частям и умножение на ненулевую константу сохраняют корни. Возведение в квадрат может добавить посторонние корни. Деление на выражение с неизвестным способно потерять корни, если оно бывает нулевым. Поэтому полезно каждый раз спрашивать: можно ли выполнить обратное действие для всех рассматриваемых значений?

В линейном уравнении собирают слагаемые с неизвестным в одной части, числа — в другой. В квадратном сначала приводят запись к стандартному виду. Если легко подобрать разложение на множители, используйте его; если нет — дискриминант.

При положительном дискриминанте два действительных корня, при нулевом — один, при отрицательном действительных корней нет. Нельзя автоматически записывать корень со знаком плюс как больший: при отрицательном знаменателе порядок меняется. Надёжнее вычислить оба и сравнить сами числа.

В дробном уравнении сначала исключите нули знаменателей, затем умножьте обе части на общий знаменатель на допустимой области. Полученные корни проверьте по первоначальным ограничениям. Если дробь равна нулю, нужен нулевой числитель при ненулевом знаменателе.

В показательном уравнении старайтесь представить обе части степенями одного основания. Основание должно быть положительным и отличным от единицы. После этого приравнивают показатели. Основание между нулём и единицей не мешает решению равенства: изменение направления относится к неравенствам.

Логарифмическое уравнение решают по определению или объединением логарифмов одинакового основания. Разность логарифмов превращается в логарифм частного, а не разности аргументов. Положительность каждого исходного аргумента проверяйте до преобразования.

Когда логарифмы с одинаковым допустимым основанием равны, равны их аргументы. Это не означает, что слово «логарифм» можно произвольно вычёркивать из суммы: сначала приведите равенство к подходящему виду.

Арифметический квадратный корень неотрицателен. Если он равен числу, это число тоже должно быть неотрицательным. В уравнении с постоянной правой частью после такой проверки можно возвести обе части в квадрат.

Если справа выражение с неизвестным, дополнительно требуется его неотрицательность. Иначе после возведения в квадрат могут появиться значения, при которых левая часть положительна, а правая отрицательна. Подстановка в исходное равенство обнаруживает такой посторонний корень.

Не путайте уравнение с квадратом и уравнение с корнем. В первом случае у положительного числа могут быть два квадратных корня как решения уравнения; арифметический радикал обозначает только неотрицательное значение.

Определите функцию, единицы угла и указанный промежуток отбора. Тригонометрические функции периодичны, поэтому уравнение часто имеет бесконечно много решений, а условие выбирает нужное. Табличное значение даёт опорные углы; затем учитывают период и принадлежность промежутку.

Для синуса одинаковому значению обычно соответствуют два положения на окружности в пределах одного оборота. Один найденный угол ещё не доказывает, что остальные не подходят. Особое внимание уделяйте границам: включены ли они в промежуток и определена ли в них функция.

Переменный аргумент должен быть положительным: $5x+10>0$, то есть $x>-2$. Остальные аргументы положительны, основание допустимо. Объединим разность в логарифм частного.

Ответ: $1$. Число удовлетворяет ОДЗ. Проверка исходного равенства: $\log_4 15-\log_4 5=\log_4(15/5)=\log_4 3$. Деление аргументов, а не их вычитание, делает переход верным.

Перенесём число в левую часть и разложим трёхчлен. Нужны два числа с суммой $5$ и произведением $6$: это $2$ и $3$.

Оба корня допустимы. Большее из отрицательных чисел находится ближе к нулю: $-2>-3$.

Ответ: $-2$. Проверка: $(-2)^2+5(-2)=4-10=-6$. Корень $-3$ тоже решает уравнение, но не выполняет дополнительное требование к ответу. Записать оба через запятую было бы ошибкой.

Под корнем неотрицательное выражение: $x\le13$. Правая часть положительна, поэтому возводим обе части в квадрат.

Ответ: $4$. Проверка: $\sqrt{13-4}=\sqrt9=3$. Полученное значение принадлежит ОДЗ. Второе число со знаком минус не добавляется: уравнение после возведения в квадрат линейное, а исходный корень обозначает неотрицательное значение.

Повторите линейные и квадратные уравнения. Чередуйте разложение на множители с дискриминантом. В каждом примере с двумя корнями отдельно выполняйте просьбу о большем или меньшем. Сравнивайте числа только после их вычисления.

Проверяйте подстановкой оба корня хотя бы в первых задачах. Так станет видно, что отбор по вопросу — отдельный шаг после решения, а не часть вычисления дискриминанта.

Тренируйте приведение к общему основанию и переход от логарифма к степени. В логарифмических уравнениях начинайте с положительности аргументов. Разность и сумму логарифмов выписывайте отдельным преобразованием, не соединяя его сразу с решением линейного уравнения.

Для проверки возвращайтесь к первоначальным аргументам. Если они положительны, проверяйте само равенство, а не только ОДЗ.

Решайте дробные уравнения и уравнения с корнями. После каждого действия отмечайте, может ли оно добавить или потерять корни. Неизвестный знаменатель и возведение в квадрат — два разных источника риска; их полезно тренировать отдельно.

Если встречаются тригонометрические уравнения, повторите окружность, периодичность и отбор по промежутку. Записывайте включённость его концов до поиска углов.

Переходите между разными видами без предварительной подсказки. Ориентир ФИПИ — семь минут на проверенное решение. Ускоряйте узнавание метода, сохраняя короткую запись ограничений и итоговую подстановку.

Повторно решите прежние ошибки через несколько дней. Если ответ запомнился, объясните, почему другие значения не подходят: это проверяет понимание лучше простого воспроизведения числа.