Задание 16 ЕГЭ по математике (база) 2027: выражения, корни и логарифмы

В задании 16 нужно вычислить значение выражения, выбрав подходящее преобразование. Корни удобно объединять, произведение сопряжённых выражений — сворачивать, большой угол — уменьшать на полный оборот, а логарифм — читать как показатель степени. Здесь решают не длина вычислений и не угадывание ответа, а узнавание структуры. Разберём четыре реальных примера ФИПИ, после чего можно продолжить в тренажёре задания 16.

Задания ФИПИ: преобразования числовых выражений

Решите четыре задания 16 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 16

В обобщённом плане ФИПИ позиция 16 проверяет вычисление значений и преобразование выражений. В проекте демоверсии представлены корни, тригонометрическое выражение и логарифм. При подготовке важно освоить свойства степеней, арифметического корня и основные тождества: одно и то же правило может встретиться внутри внешне непривычной записи.

Параметр	Задание 16
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	7 минут
Форма ответа	Краткий числовой ответ
Оценивание	Полностью верный ответ в указанной форме

Время в таблице — ориентир из обобщённого плана, а не отдельный лимит на задачу. Балл зависит от ответа: за правильную идею с вычислительной ошибкой частичный балл не предусмотрен. На тренировке оставляйте время на проверку и перенос результата.

Проверьте себя до чтения разбора

Решите одну задачу самостоятельно. Затем сравните ход решения с алгоритмом статьи и определите, какой шаг требует тренировки.

Решить задание 16

Как выглядит формулировка

Задание 16

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 1

Найдите значение выражения $\sqrt{20}\cdot\sqrt5$ .

Оба подкоренных числа неотрицательны. Поэтому произведение корней можно заменить корнем из произведения. Под корнем получается полный квадрат:

\sqrt{20}\cdot\sqrt5=\sqrt{20\cdot5}=\sqrt{100}=10.

Ответ: $10$ . Проверим другим способом: $\sqrt{20}=2\sqrt5$ , поэтому произведение равно $2(\sqrt5)^2=2\cdot5=10$ . Два точных преобразования дали одно число. Десятичное приближение каждого корня здесь только добавило бы работу и риск ошибки.

Фраза «найдите значение» означает, что в конце нужно получить число. Запись с корнем, который ещё можно извлечь, не завершает решение. Для базовой математики особенно полезно замечать удобное сочетание множителей до вычислений: подкоренные числа по отдельности могут быть неудобными, а их произведение — простым.

Теория: какие преобразования нужны

Корни: область применения и точные действия

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Поэтому корень из квадрата переменной даёт её модуль. Если знак переменной неизвестен, просто убрать квадрат и корень нельзя.

\sqrt{a^2}=|a|,\qquad \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\quad(a\ge0,\ b\ge0).

Правило произведения не переносится на сумму: корень из суммы в общем случае не равен сумме корней. При делении корней знаменатель должен быть положительным. Перед сокращением выражения с буквами отдельно проверяют, что знаменатель не обращается в нуль.

\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}\quad(a\ge0,\ b>0).

Выносите из-под корня полный квадрат, если это помогает сложить подобные слагаемые. У подобных радикалов одинаковая подкоренная часть: складываются коэффициенты, а корень сохраняется. Если удобно сразу объединить множители, как в первом примере, промежуточное разложение не требуется.

Степени и формулы сокращённого умножения

При умножении степеней одного основания показатели складываются, при делении — вычитаются. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Сначала убедитесь, что основания действительно одинаковы: одинаковые показатели сами по себе не разрешают сложить основания.

a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}.

Для дробных показателей в школьных преобразованиях удобно работать с положительным основанием. Отрицательный показатель означает обратное число, а не отрицательное значение степени. При нулевом показателе основание должно быть ненулевым.

a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a^{1/2}=\sqrt a\quad(a>0).

Если скобки различаются только знаком между двумя одинаковыми частями, перед вами произведение суммы и разности. Его выгодно свернуть до раскрытия всех скобок. В квадрате суммы, напротив, появляется удвоенное произведение: эти две формулы нельзя путать.

(u-v)(u+v)=u^2-v^2,\qquad (u+v)^2=u^2+2uv+v^2.

Логарифм — вопрос о показателе степени

Логарифм показывает, в какую степень надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Основание положительно и не равно единице, аргумент положителен. Эти ограничения — часть определения, а не дополнительная формальность.

\log_a b=c\ \Longleftrightarrow\ a^c=b,\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0.

Если основание и аргумент записаны как степени одного положительного числа, переходите к показателям. При основании в виде корня особенно важно не потерять дробный показатель: квадратный корень соответствует одной второй, а не двойке.

\log_{a^r}(a^s)=\frac sr\quad(a>0,\ a\ne1,\ r\ne0).

Сумма логарифмов одинакового основания объединяется в логарифм произведения, разность — в логарифм частного. Все исходные аргументы должны быть положительными. Формулы для логарифма суммы нет: нельзя заменить его суммой логарифмов слагаемых.

\log_a u+\log_a v=\log_a(uv),\qquad \log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv.

Тригонометрия: угол, период и знак

Сначала определите единицы угла. Значок градуса показывает градусную меру. Синус и косинус повторяются через полный оборот, тангенс — через половину оборота, если он определён. Поэтому большой угол не требует отдельной таблицы значений.

\sin(\alpha+360^\circ k)=\sin\alpha,\qquad \cos(\alpha+360^\circ k)=\cos\alpha\quad(k\in\mathbb Z).

После уменьшения угла проверяйте четверть и знак функции. Для синуса положительна верхняя половина окружности, для косинуса — правая. Само число градусов не определяет знак: угол больше полного оборота может привести к положительному и к отрицательному значению.

Угол	Синус	Косинус
$30^\circ$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$

Если в выражении встречаются квадраты синуса и косинуса одного угла, проверьте возможность применить основное тождество. Оно помогает получить ответ, даже когда сам угол не табличный.

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.

Алгоритм решения

Прочитайте запись целиком. Отметьте границы корня, показатель степени, основание логарифма и аргумент тригонометрической функции.
Определите удобную формулу. Ищите одинаковые основания, сопряжённые скобки, полный квадрат или угол после вычитания полных оборотов.
Проверьте ограничения. Не делите на нуль, не применяйте правила вещественных корней к отрицательным подкоренным числам, соблюдайте определение логарифма.
Упростите выражение точно. Сохраняйте обыкновенные дроби и корни до сокращения. Выполняйте по одному содержательному преобразованию в строке.
Вычислите и проверьте. Контролируйте знак и возможный диапазон, по возможности используйте другое преобразование.
Перенесите число. В бланке не нужны слова, единицы или промежуточная формула. Конечную десятичную дробь записывают с запятой.

Научитесь выбирать первое преобразование

Перед вычислениями называйте правило: произведение корней, разность квадратов, периодичность или определение логарифма. Осознанный первый шаг сокращает решение.

Тренировать выражения

Ещё три примера с разбором

Пример 2. Синус большого угла

Задание 16

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 2

Найдите значение выражения $26\sin750^\circ$ .

Выделим два полных оборота. После них остаётся угол первой четверти, синус которого положителен и известен из таблицы.

750^\circ=2\cdot360^\circ+30^\circ,\qquad 26\sin750^\circ=26\cdot\frac12=13.

Ответ: $13$ . Проверка: синус лежит между минус единицей и единицей, поэтому модуль всего выражения не превышает $26$ . Полученное положительное число соответствует первой четверти. Нельзя умножать коэффициент на сам угол: синус угла — отдельное число, которое сначала находят.

Пример 3. Сопряжённые выражения

Задание 16

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 3

Найдите значение выражения $(2\sqrt{11}-1)(2\sqrt{11}+1)$ .

Одна скобка содержит разность, другая — сумму тех же частей. Применяем разность квадратов. В квадрат возводим весь первый член, включая коэффициент перед корнем.

(2\sqrt{11}-1)(2\sqrt{11}+1)=(2\sqrt{11})^2-1^2=4\cdot11-1=43.

Ответ: $43$ . Проверка раскрытием скобок: слагаемые $-2\sqrt{11}$ и $2\sqrt{11}$ взаимно уничтожаются, остаётся $44-1$ . Если получилось число с корнем, значит, смешанные слагаемые не сократили либо ошиблись в знаке.

Здесь не нужно сначала приближённо вычислять $\sqrt{11}$ . Округление двух множителей способно дать число около правильного ответа, но точная формула сразу даёт целый результат.

Пример 4. Логарифм с корнем в основании

Задание 16

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 4

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt5}(5^6)$ .

Обозначим значение логарифма буквой $x$ . По определению основание в степени $x$ должно дать аргумент. Заменим корень степенью с показателем одна вторая.

(\sqrt5)^x=5^6,\qquad (5^{1/2})^x=5^6,\qquad \frac x2=6,\qquad x=12.

Ответ: $12$ . Проверка: $(\sqrt5)^{12}=5^6$ . Основание положительно и отлично от единицы, аргумент положителен — логарифм существует. Ответ должен быть больше показателя при основании $5$ : меньшее основание, остающееся больше единицы, требуется возвести в более высокую степень.

Типичные ошибки

Складывать подкоренные числа при умножении. Произведение корней объединяется через произведение, а не через сумму. Сначала запишите действие под общим корнем, затем считайте.
Забывать квадрат коэффициента. В сопряжённом произведении квадрат выражения $2\sqrt{11}$ равен $44$ , а не $22$ . Полезно временно заключить весь член в скобки.
Убирать корень из квадрата без модуля. Арифметический корень не бывает отрицательным. При буквенном выражении сначала установите знак или оставьте модуль.
Менять знак при уменьшении угла на полный оборот. Периодичность сохраняет значение функции. Знак определяется приведённым углом, а не количеством вычтенных оборотов.
Путать основание и аргумент логарифма. Проверяйте результат степенным равенством: основание в найденной степени должно дать аргумент.
Округлять до сокращения. Приближённые значения радикалов могут уничтожить точное сокращение. Сначала упростите символическую запись.

Связь с другими заданиями

В задании 14 полезна та же аккуратная арифметика с дробями и степенями. В задании 17 свойства выражений помогают решать уравнения, а в задании 18 — сравнивать числа и преобразовывать неравенства. В выражении вычисляют значение, в уравнении ищут неизвестное, в неравенстве — множество допустимых значений: формулы пересекаются, но итог решения различается.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: корни и степени

Повторите квадраты небольших натуральных чисел, свойства корней и действия со степенями. Чередуйте произведения и частные, чтобы не применять одну заученную операцию ко всем выражениям. В каждом решении отдельно отмечайте, где используется ненулевой знаменатель или положительное основание.

После нескольких примеров объясните правило своими словами. Если формула известна, но возникает арифметическая ошибка, вынесите вычисление коэффициентов в отдельную строку.

Вторая неделя: структура выражения

Тренируйте распознавание суммы и разности одинаковых частей, вынесение общего множителя и сокращение. До вычислений записывайте выбранную формулу в общем виде. Полезно сравнить два решения одного примера: полное раскрытие скобок и короткое преобразование.

В журнале ошибок различайте неверный выбор формулы и ошибку её применения. Это разные причины, и дополнительная арифметика не исправляет незнание структуры.

Третья неделя: логарифмы и тригонометрия

Для каждого логарифма составляйте проверочное степенное равенство. В тригонометрии сначала называйте период, затем приведённый угол и знак. Табличные значения учите вместе с их положением на окружности, чтобы не путать синус с косинусом.

Чередуйте задания с большим углом и обычным табличным: тогда периодичность станет осмысленным действием, а не автоматическим вычитанием одного и того же числа.

Четвёртая неделя: смешанная практика

Решайте примеры без подсказки о типе выражения. Отсчитывайте время от чтения до проверенного ответа; ориентир ФИПИ — семь минут. Если решение затягивается, ищите лишние действия, прежде всего ранние десятичные приближения и ненужное раскрытие скобок.

Вернитесь к ошибочным задачам через несколько дней. Завершайте занятие короткой самопроверкой: какое правило выбрано, почему оно применимо и чем подтверждён итог.

Закрепите алгоритм на новых задачах

Чередуйте разные формулировки. После ошибки записывайте её причину и повторяйте задачу через несколько дней без открытого решения.

Начать тренировку

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 16

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Уровень задания — базовый. Частичных баллов за отдельные шаги решения нет.

В проекте спецификации ФИПИ 2027 указано примерное время выполнения — 7 минут. Это ориентир для распределения времени. Начинайте с точных решений без таймера, затем тренируйте весь путь от чтения до проверки ответа.

Позиция проверяет вычисление и преобразование выражений. В проекте демоверсии 2027 есть корни, тригонометрия и логарифм. Для подготовки нужны также свойства степеней и формулы сокращённого умножения.

Лучше сначала выполнить точные преобразования. Корни и дроби часто сокращаются, а округление создаёт ненужную погрешность. Окончательное число вычисляйте после упрощения.

Запишите корень как степень и примените определение логарифма. Искомый показатель должен превратить основание в аргумент. После вычисления обязательно проверьте это степенным равенством.

Для синуса и косинуса вычтите целое число полных оборотов, затем определите значение и знак функции для оставшегося угла. В градусной мере полный оборот равен 360 градусам.

Запишите итоговое число без слов и промежуточных вычислений. Конечную десятичную дробь записывают с запятой. Каждая цифра, знак минус и запятая занимают отдельную клеточку бланка.

В опубликованном проекте спецификации ФИПИ 2027 указано, что изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи материалы имеют статус проекта; окончательную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

Источники и актуальность

Параметры задания проверены по комплекту проектов ФИПИ по математике 2027: спецификация базового уровня, страницы 9, 11–12. Разобранные примеры взяты из демоверсии, страницы 27–28; результаты независимо вычислены и сверены с ключами на странице 33. Примеры демонстрируют возможные формулировки и не являются исчерпывающим перечнем задач.

Правила краткого ответа приведены в инструкции демоверсии. Советы по решению, разбор ошибок и план подготовки — учебные рекомендации статьи. Последующие редакции документов доступны в разделе демоверсий ФИПИ. Статья актуальна на 5 сентября 2026 года.

Переходите к самостоятельной практике

Выберите следующий пример, выполните решение на черновике и проверьте его по исходному условию. Устойчивый навык складывается из понятных шагов и самостоятельной проверки.

Решать задание 16 Банк базовой математики Другие разборы