Задание 8 ЕГЭ по математике (база) 2027: логические утверждения

У каждого предложенного утверждения полезно различать три статуса. Оно может обязательно следовать из данных; может противоречить им; может быть верным в одной допустимой ситуации и неверным в другой. В ответ выбираются только утверждения первого типа.

Фраза «не следует» не равна утверждению «никогда не бывает». Например, из того, что человек берёт гитару в поход, не следует, что каждый раз с гитарой он идёт в поход. Он действительно может идти в поход, но также может нести инструмент на концерт.

Не опирайтесь на бытовую вероятность. «Обычно так бывает» не доказывает «обязательно так». В экзаменационной задаче работают только данные и их логические следствия; привычки людей или свойства реальных объектов не добавляют скрытых правил.

Сравнения возраста, массы, цены и числа этажей удобно записывать неравенствами. Если одна величина больше второй, а вторая больше третьей, первая больше третьей:

Направление цепочки должно быть согласовано. Фраза «торт дешевле мясной нарезки, но дороже ананаса» даёт порядок «ананас — торт — нарезка» от меньшей цены к большей. После построения цепочки можно проверять крайние элементы и сравнения через промежуточное звено.

Если известны $a>b$ и $a>c$, порядок между $b$ и $c$ не установлен. Они могут быть равны, либо одно больше другого. Общая верхняя граница не создаёт сравнения между двумя нижними величинами.

Разности находят только когда они даны или вычисляются из условий. Из «Маша старше Ксюши» без указания лет нельзя получить точную разницу. Если разницы известны, удобно обозначить возраст самой младшей одной буквой и выразить остальные через неё.

Запись «если произошло А, то происходит Б» задаёт направление следования. Событие А достаточно для Б. Из неё допустимо заключить, что при отсутствии Б не могло быть А. Этот переход называют противопоставлением:

Например, если концерт требует наличия гитары, выступление без гитары невозможно. Но наличие гитары не гарантирует концерт: инструмент можно взять по другой причине. Отсутствие концерта тоже не означает отсутствие гитары.

Слова «только» и «обязательно» помогают установить направление. «На концерт только с гитарой» означает: концерт влечёт гитару. «В поход обязательно с гитарой» означает: поход влечёт гитару. В обоих случаях обратный переход требует отдельного основания.

Всеобщий вывод должен выполняться для каждого объекта указанной группы. Чтобы опровергнуть его, достаточно одного допустимого исключения. Утверждение о существовании, наоборот, требует хотя бы одного подходящего объекта, а не всех.

«Не все» не означает «никто». «Хотя бы пять» не означает «ровно пять». Если доказано наличие не меньше двадцати объектов, утверждение о наличии хотя бы пяти тоже верно. Не отвергайте слабый вывод только потому, что из условия можно вывести более сильный.

Следите за областью утверждения. Фраза о сотрудниках конкретной фирмы не распространяется на любого человека. Если известно, как отдыхали сотрудники, из сведений об отдыхе постороннего человека нельзя автоматически заключить, что он работает в этой фирме.

Две группы могут иметь общих участников. Если сложить их численности, общие люди посчитаются дважды. Поэтому число людей, входящих хотя бы в одну группу, равно сумме численностей за вычетом пересечения:

Если всего людей $N$, в первой группе $a$, во второй $b$, число общих участников $x$ ограничено:

Нижняя граница появляется потому, что объединение не может быть больше всего коллектива. Верхняя — потому, что общие участники входят в каждую группу и не могут быть многочисленнее меньшей из них.

Формула обычно даёт диапазон, а не точное пересечение. Если не сказано, что каждый входит хотя бы в одну группу, нельзя автоматически считать сумму минус общее количество точным ответом. Это минимально возможное пересечение; часть людей может не входить ни в одну группу.

Для контрпримера удобно составить четыре категории: только первая группа, только вторая, обе и ни одна. Все количества должны быть неотрицательными, а их сумма — равной размеру коллектива. Такой проверенный расклад убедительнее произвольной догадки.

Условия «больше» и «не превышает» задают разные типы границ. Если длина больше нижней границы, равенство ей исключено; если не превышает верхнюю, равенство допустимо. После записи диапазона проверяйте, что утверждение не выходит за него.

Для опровержения общего утверждения можно выбрать любые числа, которые удовлетворяют всем исходным ограничениям. Они не обязаны совпадать с неизвестными реальными значениями: контрпример показывает, что вывод не обязателен.

Но контрпример нельзя строить с нарушением условия. Если сказано, что одна величина строго больше другой, нельзя назначить им одинаковые значения. Сначала проверьте выбранные числа по исходным данным, затем используйте их против спорного утверждения.

Условия дают два направления: концерт влечёт наличие гитары, поход тоже влечёт наличие гитары. Обратные выводы в данных не содержатся.

Ответ: $34$. Проверка: третий пункт — противопоставление правила о походе, четвёртый — его прямой аналог для концерта. Контрпримеры к первым двум не нарушают ни одного исходного требования.

Число сотрудников с двумя языками не меньше превышения суммы групп над числом работников и не больше меньшей группы:

Первый пункт верен: если общих участников хотя бы двадцать, то хотя бы пять обязательно найдутся. Второй неверен: нулевое пересечение невозможно. Третий неверен: все семьдесят знающих португальский не могут помещаться в группу из пятидесяти знающих французский. Четвёртый верен: знающих оба языка не больше всех знающих французский.

Ответ: $14$. Проверка: минимальное пересечение реализуется, например, при пятидесяти знающих только португальский, тридцати — только французский и двадцати — оба. Максимальное — когда пятьдесят знают оба, двадцать только португальский, а тридцать ни одного. Поэтому точное число общих участников условием не определено.

Каждая длина принадлежит диапазону $3<l\le7$. Первый и третий пункты противоречат ему. Второй верен: длина восемь выходит за верхнюю границу.

Для четвёртого сравним наибольшую возможную длину с нижней границей. Разница между любыми двумя допустимыми длинами строго меньше $7-3=4$ сантиметров, а значит, тем более не больше пяти.

Ответ: $24$. Проверка: утверждение о пяти сантиметрах слабее точной оценки, но от этого не становится неверным. Не требуется, чтобы в аквариуме обязательно была рыбка ровно семь сантиметров: верхняя граница не гарантирует её достижение.

По условию жираф тяжелее верблюда, а тот тяжелее каждого из двух оставшихся животных. Следовательно, жираф тяжелее и тигра, и леопарда. Первое утверждение противоречит цепочке, второе верно, третье прямо противоречит условию, четвёртое верно.

Ответ: $24$. Проверка: жираф сравнен со всеми остальными, поэтому вывод о самом тяжёлом обоснован. Порядок между тигром и леопардом неизвестен, но для ответа он не нужен. Не следует дополнять цепочку их сравнением по представлениям о реальных животных.

Начните с возрастов, цен, масс и этажей. Записывайте известные сравнения, затем проверяйте каждое утверждение. Отдельно отмечайте пары, между которыми порядок не установлен.

Если указаны разницы, выразите величины через одну переменную. Если разниц нет, не придумывайте их для доказательства; числовые примеры используйте только как корректные контрпримеры.

Тренируйте прямое следование и противопоставление. Для каждого правила сформулируйте обратный вывод и объясните, почему он без дополнительных данных не обязателен. Чередуйте сюжеты, чтобы запоминалось направление связи.

Проверяйте формулировки со словами «только» и «обязательно». Переводите их в простую фразу «если произошло это, то обязательно происходит то».

Решайте задачи о двух группах с пересечением. Находите нижнюю и верхнюю границы числа общих участников, а затем проверяйте слабые и сильные утверждения. Для крайних случаев составляйте четыре непересекающиеся категории.

Добавьте диапазоны длин, баллов и других величин. Различайте достижение границы и ограничение ею: наличие максимума, прямо названного в условии, даёт больше информации, чем одна верхняя оценка.

Выбирайте разные типы без подсказки. Ориентир проекта спецификации — восемь минут. Засекайте время вместе с проверкой всех пунктов и записи номеров.

При ошибке сохраняйте не только ответ, но и причину: «развернул условие», «принял минимум за точное число», «не проверил границу». Через несколько дней решайте задачу заново и стройте объяснение без прежней записи.