Задание 13 ЕГЭ по математике (база) 2027: стереометрия, объёмы и площади

Задание 13 — задача на геометрические величины пространственных тел. Нужно различать высоту, ребро, образующую и диагональ, выбирать формулу объёма или площади и находить недостающую длину. Часто пространственная задача сводится к одному прямоугольному треугольнику или подобию. Разберём четыре примера ФИПИ с исходными рисунками; затем можно перейти в тренажёр задания 13.

Задания ФИПИ: стереометрия

Решите четыре задания 13 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 13

По обобщённому плану ФИПИ позиция проверяет решение простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин и применение планиметрических фактов. В проекте демоверсии представлены конусы, правильная пирамида и прямоугольный параллелепипед. Требуется читать пространственную модель, а вычисления часто опираются на подобие и теорему Пифагора.

Параметр	Задание 13
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	8 минут
Форма ответа	Краткий числовой ответ по вопросу задачи
Оценивание	Полностью верный ответ в указанной форме

Время в таблице — ориентир из обобщённого плана, а не отдельный лимит на задачу. Балл зависит от ответа: за правильную идею с вычислительной ошибкой частичный балл не предусмотрен. На тренировке оставляйте время на проверку и перенос результата.

Проверьте себя до чтения разбора

Решите одну задачу самостоятельно. Затем сравните ход решения с алгоритмом статьи и определите, какой шаг требует тренировки.

Решить задание 13

Как выглядит формулировка

Задание 13

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 1

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$ , считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен $10$ .

Исходный рисунок ФИПИ: конус с сечением, параллельным основанию, и меньшим конусом у вершины — Исходная схема ФИПИ, проект демоверсии 2027.

Высота разделена на одну часть сверху и две снизу. Значит, высота малого конуса составляет одну треть высоты всего конуса. Число $1:2$ описывает отношение двух частей, а не малого конуса к целому.

\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{больш}}}=\frac1{1+2}=\frac13.

Сечение параллельно основанию, поэтому малый и большой конусы подобны. Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров:

\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{больш}}}=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27},\qquad V_{\text{больш}}=10\cdot27=270.

Ответ: $270$ . Проверка по формуле объёма: радиус малого конуса в три раза меньше, площадь основания — в девять, высота — в три. Произведение площади на высоту уменьшается в двадцать семь раз. Вопрос относится ко всему исходному конусу, поэтому объём усечённой нижней части вычислять не нужно.

Теория: формулы и чтение пространственного рисунка

Какая длина дана в условии

Высота тела перпендикулярна плоскости основания. Боковое ребро пирамиды соединяет вершину пирамиды с вершиной основания, а апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани. У конуса образующая соединяет вершину с точкой окружности основания. Это разные отрезки, даже если на схеме они выглядят близкими.

В прямоугольном параллелепипеде различайте диагональ грани и диагональ всего тела. Диагональ грани находится в одном прямоугольнике и связывает две длины. Пространственная диагональ соединяет противоположные вершины и связывает три измерения.

Рисунок помогает установить связи, но не служит линейкой. Видимая длина наклонного ребра на плоском изображении не равна его реальной длине. Перпендикулярность берут из свойств тела или явных данных, а не из внешнего вида.

Объёмы основных тел

Тело	Формула объёма	Обозначения
Прямоугольный параллелепипед	$V=abc$	Три взаимно перпендикулярных ребра
Куб	$V=a^3$	Ребро куба
Призма	$V=S_{\text{осн}}h$	Площадь основания и высота
Пирамида	$V=\frac13S_{\text{осн}}h$	Площадь основания и высота
Цилиндр	$V=\pi r^2h$	Радиус основания и высота
Конус	$V=\frac13\pi r^2h$	Радиус основания и высота
Шар	$V=\frac43\pi r^3$	Радиус шара

Перед подстановкой решите, известна ли именно высота. В формулу объёма конуса не подставляют образующую вместо высоты, а в объём пирамиды — боковое ребро. Если даны другие отрезки, сначала выполните геометрическую часть решения.

Боковая и полная поверхность

Боковая поверхность не включает основания. У конуса к боковой площади для получения полной добавляют площадь одного круга, у цилиндра — двух. У пирамиды боковую поверхность составляют треугольные грани.

S_{\text{бок конуса}}=\pi rl,\qquad S_{\text{полн конуса}}=\pi rl+\pi r^2.

S_{\text{бок цилиндра}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{полн цилиндра}}=2\pi rh+2\pi r^2.

Для правильной пирамиды все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Их общая высота — апофема. Боковую площадь можно найти как сумму площадей граней или через периметр основания.

S_{\text{бок пирамиды}}=\frac12Pl.

Здесь $P$ — периметр основания, $l$ — апофема. Не заменяйте апофему боковым ребром: высота треугольника обычно короче его боковой стороны.

Теорема Пифагора внутри тела

У прямого кругового конуса радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник. Образующая — его гипотенуза. Поэтому для поиска высоты из квадрата образующей вычитают квадрат радиуса.

l^2=r^2+h^2.

В боковой грани правильной пирамиды высота делит основание равнобедренного треугольника пополам. Гипотенуза полученного прямоугольного треугольника — боковое ребро пирамиды, один катет — половина стороны основания, второй — апофема.

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани — гипотенуза треугольника с двумя рёбрами этой грани. Сначала определите, какая именно грань названа. Другая известная длина основания может не входить в этот треугольник.

Подобие и изменение размеров

При увеличении всех линейных размеров в одинаковое число раз тела остаются подобными. Площади меняются как квадрат коэффициента, объёмы — как куб.

\frac{l_2}{l_1}=k,\qquad\frac{S_2}{S_1}=k^2,\qquad\frac{V_2}{V_1}=k^3.

Эти правила нельзя применять, если разные размеры изменились в разное число раз. Например, у двух конусов радиусы могут относиться иначе, чем образующие. Тогда отношение боковых площадей находят из произведения радиуса и образующей, а не из квадрата одного произвольно выбранного отношения.

В вопросе «во сколько раз больше» требуется отношение величин, а не их разность. Запишите направление дроби словами: площадь второго делим на площадь первого. Число пи часто сокращается ещё до вычислений.

Алгоритм решения

Определите тело и вопрос. Объём, боковая площадь, полная площадь или отношение.
Подпишите данные отрезки. Отличайте высоту, ребро, образующую и диагональ грани.
Выберите формулу. Выпишите, какие величины в ней пока неизвестны.
Найдите недостающее. Используйте прямоугольный треугольник, свойства правильной фигуры или подобие.
Подставьте точные значения. Сокращайте общие множители до десятичных вычислений.
Проверьте смысл. Размерность, порядок величины, направление отношения и соответствие исходному телу.
Запишите число. Единицы учитывают в расчётах, но в краткий ответ не добавляют.

Потренируйте чтение геометрических данных

Перед вычислениями назовите каждый данный отрезок и покажите, где он входит в формулу. Это помогает избежать подстановки похожей, но другой длины.

Решать стереометрию

Ещё три примера с разбором

Пример 2. Боковая поверхность правильной пирамиды

Задание 13

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 2

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $10$ , боковое ребро равно $13$ . Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Исходный рисунок ФИПИ: правильная шестиугольная пирамида — Исходный рисунок ФИПИ.

Боковая поверхность состоит из шести равных треугольников. У каждой грани основание равно $10$ , боковые стороны — $13$ . Высота грани делит её основание пополам.

l=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.

Площадь одной грани и сумма площадей всех граней:

S_1=\frac12\cdot10\cdot12=60,\qquad S_{\text{бок}}=6\cdot60=360.

Ответ: $360$ . Проверка через периметр основания: $P=6\cdot10=60$ , поэтому $Pl/2=60\cdot12/2=360$ . Апофема меньше бокового ребра, как катет меньше гипотенузы. Площадь шестиугольного основания не добавляется: спрашивают боковую поверхность.

Пример 3. Отношение площадей конусов

Задание 13

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 3

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно $3$ и $6$ , а второго — $4$ и $9$ . Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого конуса?

Два конуса на исходном рисунке ФИПИ — Исходный рисунок ФИПИ.

Боковая площадь конуса равна произведению числа пи, радиуса и образующей. Найдём отношение второго значения к первому:

\frac{S_2}{S_1}=\frac{\pi\cdot4\cdot9}{\pi\cdot3\cdot6}=\frac{36}{18}=2.

Ответ: $2$ . Проверка: площади равны $18\pi$ и $36\pi$ . Вторая действительно вдвое больше. Конусы не подобны: отношения радиусов и образующих различны. Поэтому возводить отношение радиусов в квадрат здесь нельзя.

Пример 4. Диагональ грани и объём параллелепипеда

Задание 13

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 4

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$ , $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $5$ , $7$ и $\sqrt{34}$ . Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ .

Параллелепипед ФИПИ с диагональю BC1 правой боковой грани — Исходный рисунок ФИПИ с обозначениями вершин.

Диагональ $BC_1$ лежит в грани с рёбрами $BC$ и $CC_1$ . Треугольник $BCC_1$ прямоугольный. Найдём высоту:

CC_1=\sqrt{BC_1^2-BC^2}=\sqrt{34-25}=3.

Теперь известны все три измерения:

V=BA\cdot BC\cdot CC_1=7\cdot5\cdot3=105.

Ответ: $105$ . Проверка диагонали грани: $5^2+3^2=34$ , её длина совпадает с данными. Ребро $BA=7$ не входит в этот прямоугольный треугольник: если ошибочно вычесть его квадрат из квадрата диагонали, получится отрицательное подкоренное выражение. Это признак неверно выбранной грани.

Типичные ошибки

Принять отношение частей за отношение части к целому. В первом примере малая высота составляет одну треть, а не половину полной.
Умножить объём на линейный коэффициент. Для подобных тел объём меняется как куб коэффициента, площадь — как квадрат.
Подставить боковое ребро вместо апофемы. Площадь треугольной грани требует её высоты. Сначала найдите катет по теореме Пифагора.
Добавить основание к боковой поверхности. Уточняйте слово «боковая» или «полная» до вычислений.
Перепутать диагональ грани с пространственной. Названия её концов показывают, какой прямоугольник нужен.
Применить подобие без проверки. Одинаковый вид тел не означает одинаковый коэффициент изменения всех размеров.
Найти разность вместо отношения. «Во сколько раз» означает деление, «на сколько» — вычитание.

Связь с другими заданиями

Теорема Пифагора и площади треугольников из задания 12 работают внутри пространственного тела. В задании 11 также встречаются пространственные модели, объёмы и поверхности. Вычисления с корнями можно закрепить в задании 16. Полезно тренировать геометрический выбор отрезка отдельно от арифметики.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: тела и формулы

Повторите объёмы и площади основных тел. Для каждой формулы называйте смысл букв и единицы результата. Чередуйте боковую и полную поверхность, чтобы привыкнуть учитывать основания по вопросу задачи.

Вторая неделя: прямоугольные треугольники

Ищите высоту конуса, апофему пирамиды и ребро параллелепипеда по известной диагонали. На черновике отдельно перерисовывайте нужный плоский треугольник. Отмечайте гипотенузу до применения теоремы Пифагора.

Третья неделя: подобие и отношения

Решайте задачи с параллельными сечениями и изменением размеров. Разделяйте отношение двух частей и отношение части к целому. Перед квадратом или кубом коэффициента убеждайтесь, что тела подобны; в остальных случаях используйте исходную формулу.

Четвёртая неделя: смешанная практика

Решайте разные тела без подсказки о формуле. Ориентир ФИПИ — восемь минут на проверенный ответ. Если ошибаетесь, отмечайте причину: не тот отрезок, неверная формула, коэффициент подобия или арифметика.

Через несколько дней повторите неудачные примеры. Перед каждым ответом кратко объясните, почему использованная длина действительно является высотой, апофемой или нужным ребром.

Закрепите алгоритм на новых задачах

Чередуйте разные формулировки. После ошибки записывайте её причину и повторяйте задачу через несколько дней без открытого решения.

Начать тренировку

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 13

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Уровень задания — базовый. Частичных баллов за отдельные шаги решения нет.

В проекте спецификации ФИПИ 2027 указано примерное время выполнения — 8 минут. Это ориентир для распределения времени. Начинайте с точных решений без таймера, затем тренируйте весь путь от чтения до проверки ответа.

Боковая поверхность не включает основания. Для полной поверхности конуса добавляют одно основание, цилиндра — два, пирамиды — площадь её основания. Всегда ориентируйтесь на формулировку вопроса.

Нет. Боковое ребро — сторона треугольной грани, апофема правильной пирамиды — высота этой грани. Её часто находят по теореме Пифагора, используя половину стороны основания.

Если все линейные размеры изменились в одно и то же число раз, объём меняется как куб этого коэффициента, а площадь — как квадрат. Если размеры меняются неодинаково, используйте формулу конкретной величины.

Диагональ грани лежит в одном прямоугольнике и связывает две его стороны. Пространственная диагональ соединяет противоположные вершины и зависит от трёх измерений. Проверьте обозначения концов отрезка.

Нет, в бланк переносят требуемое число. Но при решении нужно согласовать единицы: длина измеряется в линейных единицах, площадь — в квадратных, объём — в кубических.

В опубликованном проекте спецификации ФИПИ 2027 указано, что изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи материалы имеют статус проекта; окончательную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

Источники и актуальность

Параметры задания проверены по комплекту проектов ФИПИ по математике 2027: спецификация базового уровня, страницы 9, 11–12. Разобранные примеры взяты из демоверсии, страницы 25–26; результаты независимо вычислены и сверены с ключами на странице 33. Примеры демонстрируют возможные формулировки и не являются исчерпывающим перечнем задач.

Правила краткого ответа приведены в инструкции демоверсии. Советы по решению, разбор ошибок и план подготовки — учебные рекомендации статьи. Последующие редакции документов доступны в разделе демоверсий ФИПИ. Статья актуальна на 5 сентября 2026 года.

Переходите к самостоятельной практике

Выберите следующий пример, выполните решение на черновике и проверьте его по исходному условию. Устойчивый навык складывается из понятных шагов и самостоятельной проверки.

Решать задание 13 Банк базовой математики Другие разборы