Задание 14 ЕГЭ по математике (база) 2027: вычисления и дроби

Сначала выполняют действия в скобках, затем степени, после них умножение и деление, в конце — сложение и вычитание. Действия одинаковой ступени выполняют слева направо, если структура выражения не задаёт иной порядок.

Дробная черта группирует весь числитель и весь знаменатель. Если сверху стоит сумма, сначала вычисляют её или используют корректное преобразование всей дроби. Нельзя поделить только последнее слагаемое числителя, оставив первое вне деления.

Эта формула допускает деление каждого слагаемого числителя на общий знаменатель, но не переносится на сумму в знаменателе. Дробь со знаменателем-суммой сначала рассматривают как единое частное.

Перед началом можно пронумеровать действия на черновике. Особенно это помогает в выражении, где обыкновенная дробь соседствует со знаком деления: горизонтальная черта и двоеточие обозначают деление, но имеют разные границы действия.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведите их к общему знаменателю. При домножении знаменателя на некоторое число на то же число умножают числитель: значение дроби должно сохраниться.

Произведение знаменателей подходит всегда, но не всегда удобно. Если один знаменатель делится на другой, меньший можно довести до большего. В остальных случаях часто полезно взять наименьшее общее кратное, чтобы не работать с большими числами.

После приведения складывают или вычитают числители, а общий знаменатель сохраняют. Сложение знаменателей не является правилом сложения дробей. Полученный результат проверьте на сокращение.

При умножении дробей перемножают числители и знаменатели. Если есть общие множители сверху и снизу, их удобно сократить до умножения. Сокращают множители, а не отдельные слагаемые суммы.

Чтобы разделить на ненулевую дробь, умножьте на обратную ей. Переворачивается делитель, то есть вторая дробь, а не обе дроби и не первая.

Деление на положительное число меньше единицы увеличивает положительное исходное число. Поэтому увеличение результата при делении на дробь само по себе не означает ошибку. Для проверки умножьте частное на делитель: должно восстановиться делимое.

Если встречается смешанное число, перед умножением и делением его удобно превратить в неправильную дробь. Целая часть умножается на знаменатель, затем прибавляется числитель дробной части. Знак отрицательного смешанного числа относится ко всему числу.

При сложении и вычитании десятичные запятые располагают друг под другом, чтобы складывать одинаковые разряды. Недостающие десятичные знаки можно дополнить нулями справа: значение числа не меняется.

При умножении сначала перемножают числа без запятых, затем отделяют справа столько цифр, сколько десятичных знаков суммарно было у множителей. Нули в конце дробной части можно убрать. Нули перед значащей цифрой в дробной части убирать нельзя — они обозначают разряды.

При делении на десятичную дробь перенесите запятую в обоих числах на одинаковое количество разрядов, чтобы делитель стал целым. Изменение только делителя меняет значение частного.

Проверяйте положение запятой оценкой. Если положительное число умножили на число чуть больше единицы, результат должен быть немного больше исходного, а не в десять раз меньше. Такая оценка быстро обнаруживает ошибку разряда.

Обыкновенные и десятичные дроби описывают одни и те же числа. Выбирайте форму, в которой действия получаются точными и короткими. Десятичные дроби с небольшим количеством знаков удобны для сложения; обыкновенные — для сокращения произведений и частных.

Не каждую обыкновенную дробь нужно переводить в десятичную сразу. Если запись получается бесконечной, сохраните точную дробь до окончания вычислений: она может сократиться в следующем действии. Округление промежуточного значения способно испортить точный ответ.

Произведение и частное двух чисел одинакового знака положительны, разного знака — отрицательны. При вычитании отрицательного числа получается прибавление положительного. Удобно сначала определить знак, затем выполнить действие с модулями.

Для проверки сложения вычтите одно слагаемое из результата, для умножения разделите произведение на ненулевой множитель. Не повторяйте автоматически те же действия в той же записи: одинаковая ошибка может повториться. Другой способ и грубая оценка дополняют друг друга.

Деление выполняется раньше сложения. Делитель — дробь $2/3$; заменяем деление умножением на обратную дробь.

Полученная дробь уже имеет тот же знаменатель, что первое слагаемое:

Ответ: $3$. Проверка деления: $\frac74\cdot\frac23=\frac76$. Также можно прочитать слагаемые после деления как $1{,}25$ и $1{,}75$: сумма равна трём. Складывать первую и вторую дроби до деления нельзя — скобок для такого порядка нет.

Дробная черта относится ко всей сумме в числителе. Сначала найдём её значение, затем разделим:

Ответ: $4$. Проверка: $4\cdot1{,}1=4{,}4$, что совпадает с суммой числителя. Переход к целым числам выполнен умножением и числителя, и знаменателя на десять. Если изменить только знаменатель, значение дроби уменьшится в десять раз.

В этом выражении удобно выполнить сумму первой, потому что это совпадает и с группировкой записи, и с коротким вычислением. Распределить деление по двум слагаемым допустимо, но здесь такой способ длиннее.

Умножить на одну пятую — значит разделить на пять. Сначала выполняем это действие, затем вычитание:

Ответ: $0{,}1$. Проверка через обыкновенные дроби: $5{,}5=11/2$, поэтому произведение равно $11/10$, а после вычитания единицы остаётся $1/10$. Нуль перед запятой показывает, что целая часть отсутствует; саму запятую терять нельзя.

Повторите общий знаменатель, умножение, деление и сокращение. Сначала решайте отдельно каждый тип действия, затем смешивайте их в коротких выражениях. Проверяйте деление обратным умножением, чтобы закрепить, какая дробь переворачивается.

Сравнивайте два общих знаменателя — произведение и наименьшее общее кратное. Выбирайте способ, который уменьшает числа и сохраняет понятную запись.

Тренируйте сложение по разрядам, умножение с подсчётом знаков и деление с переносом запятой в обоих числах. До точного вычисления называйте примерный диапазон результата. Это помогает замечать ошибки в десять или сто раз.

Решайте выражения со скобками, дробными чертами и сочетанием разных видов дробей. Перед первой операцией устно объясняйте её место в порядке действий. Не переводите всё в десятичный вид автоматически: ищите точные сокращения.

Решайте без подсказки о типе вычисления. Ориентир ФИПИ — пять минут на проверенный ответ. Если времени хватает, уделяйте остаток проверке, а не раннему округлению или лишним преобразованиям.

Возвращайтесь к прежним ошибкам через несколько дней. Цель повторения — восстановить верное правило и порядок действий, а не запомнить ответ конкретного выражения.