Задание 18 ЕГЭ по математике (база) 2027: неравенства и числовая прямая

Q: Сколько баллов дают за задание 18?

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Уровень задания — базовый. Частичных баллов за отдельные шаги решения нет.

Q: Сколько времени отводится на задание 18?

В проекте спецификации ФИПИ 2027 указано примерное время выполнения — 8 минут. Это ориентир для распределения времени. Начинайте с точных решений без таймера, затем тренируйте весь путь от чтения до проверки ответа.

Q: Что записывать: координаты или номера?

В разобранных формулировках требуется последовательность номеров вариантов в порядке букв. Координаты и промежутки нужны для решения, но в бланк переносят соответствующие цифры без пробелов и запятых.

Q: Нужно ли вычислять логарифм приближённо?

Часто достаточно сравнить аргумент с соседними степенями основания и определить промежуток между целыми. Уточнение нужно только тогда, когда грубые границы не различают отмеченные точки.

Q: Когда меняется знак неравенства?

При умножении или делении на отрицательное число знак меняется. При переходе к показателям или аргументам у убывающей показательной либо логарифмической функции направление тоже меняется. Эти действия проверяют отдельно.

Q: Как понять, входит ли граница в ответ?

Учитывайте строгость неравенства и область определения. Нуль знаменателя никогда не входит в ответ. На рисунке пустая точка означает исключённую границу, закрашенная — включённую.

Q: Почему недостаточно подобрать один номер по исключению?

Исключение может помочь, но ошибочное раннее соответствие испортит оставшуюся пару. Самостоятельно проверьте каждое число или множество решений, затем сверяйте полный порядок цифр.

Q: Изменилось ли задание 18 в ЕГЭ 2027?

В опубликованном проекте спецификации ФИПИ 2027 указано, что изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи материалы имеют статус проекта; окончательную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

В задании 18 нужно установить соответствие: между точками и числами либо между неравенствами и их решениями. Здесь проверяются и вычисления, и понимание числовой прямой. Недостаточно найти отдельный промежуток: ответом станет последовательность номеров в порядке букв. Разберём три формулировки ФИПИ с исходными рисунками, затем можно продолжить в тренажёре задания 18.

Задания ФИПИ: неравенства и числовые промежутки

Решите четыре задания 18 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 18

Обобщённый план ФИПИ связывает эту позицию с преобразованием выражений и решением рациональных, показательных и логарифмических неравенств. В проекте демоверсии есть также сопоставление чисел с точками на координатной прямой. Поэтому подготовка только к одному виду неравенств оставляет существенный пробел.

Параметр	Задание 18
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	8 минут
Форма ответа	Последовательность цифр в порядке букв условия
Оценивание	Полностью верный ответ в указанной форме

Время в таблице — ориентир из обобщённого плана, а не отдельный лимит на задачу. Балл зависит от ответа: за правильную идею с вычислительной ошибкой частичный балл не предусмотрен. На тренировке оставляйте время на проверку и перенос результата.

Проверьте себя до чтения разбора

Решите одну задачу самостоятельно. Затем сравните ход решения с алгоритмом статьи и определите, какой шаг требует тренировки.

Решить задание 18

Как выглядит формулировка

Задание 18

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 1

На координатной прямой отмечены точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

Точки A между 1 и 2, B между 2 и 3, C между 3 и 4, D между 5 и 6 на исходной прямой ФИПИ — Исходная координатная прямая ФИПИ, проект демоверсии 2027.

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

$\sqrt{26}$
$\log_2 10$
$\frac73$
$\left(\frac35\right)^{-1}$

Запишите в приведённой в ответе таблице под каждой точкой соответствующий числу номер. Порядок точек: $A,\ B,\ C,\ D$ .

Точное десятичное значение логарифма не требуется. Достаточно установить, между какими соседними целыми лежит каждое число. По рисунку точки находятся в разных единичных промежутках.

25<26<36\quad\Longrightarrow\quad5<\sqrt{26}<6.

Первое число соответствует точке $D$ . Для логарифма сравним аргумент со степенями основания: $2^3=8<10<16=2^4$ , поэтому $3<\log_2 10<4$ . Это точка $C$ .

2<\frac73<3,\qquad \left(\frac35\right)^{-1}=\frac53,\qquad1<\frac53<2.

Третье число соответствует $B$ , четвёртое — $A$ . Собираем номера именно в порядке букв:

A\to4,\quad B\to3,\quad C\to2,\quad D\to1.

Ответ: $4321$ . Проверка: значения возрастают слева направо, каждый номер использован один раз, все числа лежат в нужных промежутках. Запись номеров в порядке исходного списка чисел отвечала бы на обратный вопрос.

Теория: числа, промежутки и знаки

Сравнение без лишних приближений

Число правее другого на координатной прямой больше него. Для отрицательных чисел больший модуль означает более левое положение. Сначала разделяйте выражения по знаку: это часто сразу оставляет два возможных места вместо четырёх.

Положительный квадратный корень оценивают соседними квадратами. Логарифм с основанием больше единицы — соседними степенями основания. Обыкновенную дробь можно выделить в смешанное число или сравнить с целыми умножением на положительный знаменатель.

Если две точки лежат в одном единичном промежутке, грубой оценки недостаточно. Уточните границы или сравните выражения напрямую. Точность выбирают по рисунку: нет смысла вычислять много десятичных знаков, если промежутки уже различаются.

Как читать интервалы

Пустая точка означает, что граница не включена, закрашенная — включена. Штриховка показывает множество решений, стрелка самой оси — направление увеличения координаты. Эти обозначения нельзя смешивать.

Условие	Промежуток	Граница
$x>a$	$(a;+\infty)$	Не включена
$x\le a$	$(-\infty;a]$	Включена
$a<x<b$	$(a;b)$	Обе не включены
$x<a\ \text{или}\ x>b$	$(-\infty;a)\cup(b;+\infty)$	Два отдельных луча

Бесконечность не является числом и никогда не включается в промежуток. Если граница зануляет знаменатель, она исключена даже при нестрогом знаке неравенства. У нуля числителя другая роль: при нестрогом сравнении с нулём он может входить в ответ.

Линейные и показательные неравенства

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняют на противоположный. Простое перенесение слагаемого не является причиной менять направление: сначала выполните равносильное действие, затем учтите знак делителя.

-x<c\quad\Longleftrightarrow\quad x>-c.

Показательная функция с основанием больше единицы возрастает, а с основанием между нулём и единицей убывает. Поэтому при переходе к показателям направление зависит от основания.

a^{f(x)}>a^{g(x)}\ \Longleftrightarrow\ f(x)>g(x)\quad(a>1).

a^{f(x)}>a^{g(x)}\ \Longleftrightarrow\ f(x)<g(x)\quad(0<a<1).

После перехода к показателям может понадобиться ещё одно изменение знака при делении на отрицательный коэффициент. Проверяйте каждый шаг отдельно: основания и линейные коэффициенты — разные причины изменения направления.

Логарифмы и область определения

Аргумент логарифма всегда положителен. Для основания больше единицы направление неравенства при сравнении аргументов сохраняется, для основания между нулём и единицей меняется. Итог пересекают с областью определения.

\log_a x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>1\quad(a>1).

Если после преобразования получается промежуток с отрицательными числами, это повод вернуться к ОДЗ. Иногда ограничения уже следуют из результата, но их всё равно нужно осознанно проверить. Отсутствие лишних чисел в одном примере не делает ОДЗ необязательной.

Рациональные неравенства и метод интервалов

Перенесите всё в одну часть и приведите к одной дроби. Найдите нули числителя и знаменателя, отметьте их на прямой. Между соседними граничными точками знак сохраняется, если внутри нет других нулей или разрывов. Его можно определить подстановкой удобного числа.

Не умножайте неравенство на выражение с неизвестным знаком без разделения случаев. Метод интервалов как раз учитывает смену знака знаменателя. При повторных множителях знак может не меняться при переходе через корень: правило «знаки всегда чередуются» неверно.

После выбора нужных промежутков отдельно решите вопрос о границах. Для строгого сравнения с нулём нули числителя исключаются; нули знаменателя запрещены при любом знаке.

Алгоритм решения

Выпишите буквы в порядке ответа. Не полагайтесь на зрительную память.
Определите формат. Нужно сравнить числа с точками или решить четыре неравенства.
Получите самостоятельные результаты. Для чисел найдите знак и границы; для неравенств — множество решений с ОДЗ.
Прочитайте варианты. Сверьте штриховку, включённость концов и количество промежутков.
Поставьте номер под каждой буквой. Не записывайте координаты вместо номеров.
Проверьте соответствия по одному. Только после этого объедините цифры в строку ответа.

Потренируйте оба формата задания

Чередуйте координатные прямые и неравенства. В конце каждого решения проверяйте порядок букв отдельно от математических вычислений.

Решать задание 18

Ещё два примера с разбором

Пример 2. Четыре неравенства

Задание 18

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 2

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует его решение в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

А) $\log_4x>0$

Б) $4^{-x+7}>16$

В) $\frac{x-1}{x-5}<0$

Г) $\frac1{(x-5)(x-1)}>0$

Варианты решений ФИПИ: 1 между 1 и 5; 2 левее 1 и правее 5; 3 левее 5; 4 правее 1. Все границы выколоты — Исходные варианты решений из демоверсии ФИПИ.

Запишите в приведённой в ответе таблице под каждой буквой соответствующий решению номер. Порядок букв: А, Б, В, Г.

А. Основание логарифма больше единицы. Поэтому $\log_4x>\log_4 1$ равносильно $x>1$ . ОДЗ выполнена. Подходит вариант $4$ .

Б. Представим правую часть степенью того же основания:

4^{-x+7}>4^2\quad\Longleftrightarrow\quad-x+7>2\quad\Longleftrightarrow\quad x<5.

Получили вариант $3$ . Знак меняется при делении на минус единицу, а не при переходе от степеней к показателям.

В. Границы — $1$ и $5$ . Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Это происходит между границами: числитель положителен, знаменатель отрицателен. Обе границы исключены. Подходит вариант $1$ .

Г. Числитель положителен. Значит, знаменатель должен быть положительным: два множителя одного знака. Это выполняется левее $1$ и правее $5$ . В обоих граничных значениях знаменатель нулевой, они исключены. Получили вариант $2$ .

Ответ: $4312$ . Проверка знаков: число $3$ подходит для В, поскольку дробь отрицательна, но не подходит для Г, поскольку произведение в знаменателе отрицательно. Число $6$ даёт обратную картину. Это подтверждает различие среднего промежутка и двух внешних лучей.

Пример 3. Числа с общим параметром

Задание 18

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 3

На координатной прямой отмечены точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

Прямая ФИПИ: A между минус 3 и минус 2, B между минус 1 и 0, C между 0 и 1, D между 1 и 2 — Исходная координатная прямая ФИПИ.

Число $m$ равно $\sqrt{0{,}15}$ . Каждой из четырёх точек в левом столбце соответствует число, которое является её координатой. Установите соответствие между точками и числами из правого столбца.

$4m$
$m^2$
$-\frac1m$
$m-1$

Сначала внимательно читаем определение: параметр равен корню, а не подкоренному числу. Для оценки достаточно заметить:

\frac19<0{,}15<\frac14\quad\Longrightarrow\quad\frac13<m<\frac12.

Теперь распределим выражения по промежуткам. Квадрат параметра точно равен $0{,}15$ , поэтому номер $2$ соответствует точке $C$ . Из оценки параметра следует $1<4m<2$ , значит, номер $1$ соответствует $D$ .

Число $m-1$ находится между минус единицей и нулём, поэтому номер $4$ относится к $B$ . Осталось отрицательное обратное число:

2<\frac1m<3\quad\Longrightarrow\quad-3<-\frac1m<-2.

Это точка $A$ , номер $3$ . Ответ: $3421$ . Проверка: на рисунке две отрицательные и две положительные координаты; у выражений такое же распределение. Все четыре оценки попали в разные отмеченные промежутки, поэтому уточнять десятичное значение корня не нужно.

Типичные ошибки

Принять параметр за подкоренное число. В последнем примере $m^2=0{,}15$ , но сам параметр больше. Читайте длину черты радикала до вычислений.
Забыть знак при обратном числе. Сначала найдите промежуток для положительной обратной величины, затем умножьте обе границы на минус единицу и поменяйте их порядок.
Включить нуль знаменателя. Даже нестрогое неравенство не разрешает деление на нуль.
Считать, что знаки всегда чередуются. Проверяйте кратности множителей или подставляйте число из каждого промежутка.
Перепутать штриховку с направлением оси. Стрелка показывает возрастание координаты, а множество решений показано штриховкой.
Записать верные номера в обратном порядке. Строка ответа строится по буквам из условия, а не по номерам списка справа.

Связь с другими заданиями

Для вычислительной части повторите задание 16: степени, корни и логарифмы. Переходы к одинаковым основаниям и проверка ОДЗ связывают эту тему с заданием 17. В уравнении ищут отдельные корни, а в неравенстве — все подходящие промежутки; подстановка одного числа подтверждает знак, но сама по себе не описывает всё множество решений.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: сравнение чисел

Оценивайте корни соседними квадратами, логарифмы — степенями основания, дроби — целыми границами. Чередуйте положительные и отрицательные выражения. Для каждого ответа формулируйте строгую оценку, которая объясняет положение точки.

Вторая неделя: промежутки и простые неравенства

Переводите неравенства в интервальную запись и обратно. Отдельно тренируйте открытые и закрытые границы. В показательных и логарифмических примерах каждый раз называйте, возрастает функция или убывает.

Третья неделя: рациональные выражения

Стройте схему знаков с нулями числителя и знаменателя. Сначала определяйте знак подстановкой, затем учитесь видеть его по множителям. Не пропускайте случаи повторных корней и отдельно проверяйте включённость каждой границы.

Четвёртая неделя: полное соответствие

Решайте смешанные задания целиком. Ориентир ФИПИ — восемь минут, включая сборку строки ответа. После проверки математики проводите отдельную проверку порядка цифр. Через несколько дней возвращайтесь к ошибочным формулировкам без просмотра старого решения.

Закрепите алгоритм на новых задачах

Чередуйте разные формулировки. После ошибки записывайте её причину и повторяйте задачу через несколько дней без открытого решения.

Начать тренировку

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 18