Задание 5 ЕГЭ по математике (база) 2027: вероятность событий

Событие — то, наступление чего нас интересует: достать мягкий карандаш, получить исправный товар, оказаться в определённой группе. Благоприятными называют исходы, при которых это событие происходит. Слово «благоприятный» здесь не означает полезный или приятный: если спрашивают о браке, благоприятными для расчёта будут именно бракованные изделия.

Если элементарные исходы равновозможны и их конечное число, вероятность события равна отношению числа подходящих исходов к числу всех возможных:

Здесь $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число исходов. Числитель и знаменатель должны относиться к одному случайному выбору. Нельзя взять в числитель число спортсменов нужной страны, а в знаменатель число стран: спортсмены и страны — разные объекты подсчёта.

Не считайте виды предметов равновероятными только потому, что они перечислены через запятую. Если в коробке много предметов одного цвета и мало другого, случайно выбранный предмет чаще будет из многочисленной группы. Равновозможными считаются отдельные предметы, а не названия цветов.

События «изделие исправно» и «изделие неисправно» исключают друг друга и вместе охватывают все варианты в таком условии. Поэтому их вероятности в сумме равны единице:

Этот приём особенно удобен, когда вопрос содержит «не» или нужная группа названа словом «остальные». Можно сначала найти её численность либо вычесть вероятность ненужной группы из единицы. Оба способа должны совпасть.

Проверяйте, действительно ли события противоположны. «Выбрать красный карандаш» и «выбрать синий карандаш» не противоположны, если в пенале есть зелёные. Противоположное к красному — любой не красный карандаш, включая все остальные цвета.

При двух шагах отрицание читается особенно внимательно. Если в условии известно, сколько семян не всходит, а спрашивают вероятность всхода, одного деления указанного числа на общее недостаточно. Подчеркните событие из вопроса до вычислений.

Иногда абсолютное количество предметов неизвестно, зато сказано, во сколько раз одна группа больше другой. Обозначьте меньшую группу одной частью, а большую — соответствующим числом частей. Для вероятности важна доля, поэтому размер одной части сократится.

Если чёрных чайных пакетиков в несколько раз больше, чем зелёных, общее число — сумма обеих групп, а не только большая группа. Деление меньшего количества на большее даёт отношение групп, но не вероятность выбора из всей коробки.

Удобно проверять результат простыми допустимыми числами: взять одну условную часть за один предмет или за десять. Если отношение групп сохраняется, вероятность получится той же. Это не изменение условия, а способ увидеть, почему неизвестное общее количество не мешает решению.

При случайном порядке каждый участник одинаково вероятно занимает каждое место. Поэтому вероятность увидеть представителя нужной страны первым, третьим или пятым определяется долей участников этой страны, если в условии не сообщены дополнительные сведения о предыдущих выступлениях.

Не вычитайте автоматически число уже прошедших мест из знаменателя. Когда вопрос просто касается пятого места, результаты первых четырёх неизвестны. Исходный случайный порядок симметричен относительно всех позиций. Пересчёт оставшихся участников требуется в другой задаче, где уже известно, кто выступил раньше.

Если выступления распределены по дням, равновозможными исходами удобно считать места в общем списке. Число дней само по себе не задаёт вероятность попасть в один день: дни могут содержать разное количество выступлений. Сначала найдите, сколько мест выделено нужному дню.

Если события несовместны — не могут произойти одновременно при одном выборе, — вероятность одного или другого равна сумме их вероятностей:

Например, один выбранный экзаменационный вопрос может относиться к одной из двух непересекающихся тем. Условие о том, что общих вопросов нет, означает отсутствие двойного подсчёта. Его нельзя пропускать: слово «или» само по себе ещё не разрешает просто складывать вероятности.

Если события могут произойти вместе, общую часть при сложении посчитали бы дважды. Тогда нужна поправка:

Для простых задач с прямо указанной несовместностью достаточно первой формулы. Вторая объясняет границу её применения. Не придумывайте вероятность пересечения, когда условие её не задаёт; сначала выясните, исключают ли события друг друга по смыслу.

Если выбирают целое число, нужно определить весь диапазон. Трёхзначные натуральные числа начинаются со ста и заканчиваются девятьюстами девяноста девятью. Число целых значений от $a$ до $b$ включительно равно:

Прибавление единицы учитывает оба конца. Разность концов показывает число промежутков между ними, а не число целых чисел. Тот же принцип работает, когда вы считаете номера кратных чисел: от третьего кратного до двадцатого включительно нужно учесть и третье, и двадцатое.

Для делимости найдите первое подходящее число, последнее подходящее число и шаг. Не перечисляйте сотни исходов вручную. Но границы проверьте отдельно: число прямо за нижней границей может ещё быть двузначным, а следующее после последнего — уже четырёхзначным.

Вероятность не бывает отрицательной и не превышает единицу:

Если нужных предметов меньше половины всех, вероятность должна быть меньше половины. Если все исходы подходят, вероятность равна единице; если подходящих нет — нулю. Такая прикидка помогает сразу заметить перевёрнутую дробь.

Вероятность обычно записывается десятичной дробью, а не процентом. Значение $0{,}24$ соответствует $24\%$, но в ответе на вопрос о вероятности пишут $0{,}24$. Не умножайте результат на сто, если проценты не запрошены.

Пусть зелёных пакетиков $x$. Тогда чёрных $9x$, а всего $10x$. В числителе оставляем только зелёные:

Ответ: $0{,}1$. Проверка: чёрных в девять раз больше, поэтому зелёные составляют одну из десяти равных частей общего количества. Вероятности выбора зелёного и чёрного чая равны $0{,}1$ и $0{,}9$ и в сумме дают единицу.

Ошибка $1/9$ возникает, если сравнить зелёные пакетики только с чёрными. Но выбирают из всей коробки, поэтому знаменатель включает обе группы.

Сначала число мест в последний день. После первого дня остаются $50-14=36$ выступлений и $4-1=3$ дня. На каждый приходится:

Затем вероятность. Исполнитель из Твери может попасть на любое из пятидесяти мест, из них двенадцать относятся к последнему дню:

Ответ: $0{,}24$. Проверка: $14+12+12+12=50$. Последний день содержит чуть меньше четверти всех выступлений, поэтому вероятность чуть меньше $0{,}25$. Ответ $1/4$ был бы верен при равном числе выступлений во все дни, но здесь первый день отличается.

События несовместны: один выбранный вопрос не относится сразу к обеим темам. Поэтому складываем заданные вероятности:

Ответ: $0{,}35$. Проверка: общая вероятность больше вероятности каждой отдельной темы, но меньше единицы. Остальные темы вместе имеют вероятность $1-0{,}35=0{,}65$.

Умножение здесь не подходит: вопрос не требует наступления двух событий одновременно. Ключевые слова — «по одной из двух тем» и отсутствие общих вопросов. Именно они обосновывают сложение.

Все исходы. Натуральные трёхзначные числа идут от $100$ до $999$. Их количество:

Благоприятные исходы. Второе кратное $49\cdot2=98$ ещё двузначное. Первое подходящее — $49\cdot3=147$. Последнее — $49\cdot20=980$; следующее $49\cdot21=1029$ уже четырёхзначное. Поэтому подходят кратные с номерами от третьего до двадцатого:

Ответ: $0{,}02$. Проверка: примерно одно число из каждых пятидесяти делится на число, близкое к пятидесяти. Полученная доля порядка двух процентов правдоподобна. Для точного ответа важны границы: простое $1/49$ не учитывает конечный диапазон.

Решайте задачи на предметы разных видов, номера и призовые упаковки. Для каждого условия называйте случайный выбор, все исходы и благоприятные. Записывайте дробь до десятичного ответа, чтобы модель была видна отдельно от вычисления.

Проверяйте, почему исходы равновозможны. Не смешивайте число видов с числом предметов. Если в условии количества заданы отношением, переходите к равным частям.

Чередуйте вопросы об исправном и неисправном товаре, о всходе и невсходе семян. Решайте задачу двумя способами: сначала через количество нужных исходов, затем через противоположное событие. Ответы должны совпасть.

Отдельно тренируйте чтение формулировки. Не подставляйте первое встретившееся число в числитель, пока не установлено, какую группу оно обозначает.

Решайте задачи с неравным распределением выступлений по дням и со случайным местом участника. После этого добавьте сумму вероятностей несовместных событий. Перед сложением формулируйте, почему оба события не могут произойти вместе.

В задачах на числа отдельно проверяйте начало и конец диапазона. Сначала найдите крайние подходящие числа, затем считайте количество, не перечисляя весь список.

Решайте примеры без указания приёма. Ориентир проекта спецификации для задания 5 — десять минут, но простые доли могут получаться быстрее. Засекайте время вместе с проверкой события и записи ответа.

Для каждого промаха фиксируйте причину: «не то событие», «не все исходы», «потеряна граница», «проценты вместо вероятности». Через несколько дней повторите ошибочные задачи без прежнего решения.