Задание 10 ЕГЭ по математике (база) 2027: практическая геометрия на плоскости

В задании 10 геометрическая формула помогает ответить на практический вопрос: сколько нужно забора, какова свободная площадь или длина наклонной конструкции. Главный шаг — превратить описание в понятный чертёж и выбрать нужную величину. Разберём реальные примеры ФИПИ и проверим результаты по смыслу, а затем продолжим в тренажёре задания 10.

Задания ФИПИ: практическая планиметрия

Решите четыре задания 10 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 10

В обобщённом плане ФИПИ задание 10 проверяет применение изученных фактов и теорем планиметрии. В проекте демоверсии 2027 это площадь участка, угол между спицами и длина ограждения. Практический сюжет не заменяет геометрию: нужно распознать фигуру и связать её элементы с данными условия.

Параметр	Задание 10
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	10 минут
Форма ответа	Краткий числовой ответ
Оценивание	Полностью верный ответ в указанной форме

Время в таблице — ориентир из обобщённого плана, а не отдельный лимит на задачу. Балл зависит от ответа: за правильную идею с вычислительной ошибкой частичный балл не предусмотрен. На тренировке оставляйте время на проверку и перенос результата.

Проверьте себя до чтения разбора

Решите одну задачу самостоятельно. Затем сравните ход решения с алгоритмом статьи и определите, какой шаг требует тренировки.

Решить задание 10

Как выглядит формулировка

Задание 10

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

Дачный участок имеет форму квадрата со стороной $30$ м. Дом на участке имеет форму прямоугольника со сторонами $8$ м и $5$ м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.

Квадратный участок со стороной 30 м и прямоугольный дом 8 на 5 м — Рисунок из проекта демоверсии ФИПИ 2027.

Участок включает дом и свободную часть. Поэтому из площади квадрата вычитаем площадь прямоугольника. Положение дома внутри участка на разность не влияет.

S=30^2-8\cdot5=900-40=860.

Ответ: $860$ . Проверка: сумма свободной площади и площади дома равна $860+40=900$ квадратных метров — площади всего участка. Ответ меньше общей площади и больше нуля.

Разобранная задача показывает частую особенность практического условия: вопрос относится к части фигуры. Если остановиться на площади квадрата, вычисление будет верным, но ответ — неверным. Подчёркивайте слова «не занятой», «без», «оставшейся» до подстановки чисел.

Теория: от жизненного сюжета к фигуре

Длина, периметр и площадь — разные величины

Забор проходит по границе, поэтому его длину связывают с периметром. Газон, покрытие пола или свободная земля занимают часть плоскости — нужна площадь. Трос, лестница и транспортёр часто изображаются отдельным отрезком, для которого периметр всей фигуры вообще не требуется.

Фигура	Периметр	Площадь
Прямоугольник	$P=2(a+b)$	$S=ab$
Квадрат	$P=4a$	$S=a^2$
Треугольник	$P=a+b+c$	$S=\frac12 ah$
Круг	$L=2\pi r$ — длина окружности	$S=\pi r^2$

В формуле площади треугольника высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию. Наклонная сторона обычно не является высотой. Если высота проведена к продолжению стороны, формула остаётся той же: важна перпендикулярность, а не расположение отрезка внутри рисунка.

Обозначение величины помогает проверить единицы. Длина измеряется в метрах, площадь — в квадратных метрах. Если в вычислении площади получилось только сложение длин, вернитесь к выбору формулы. Умножать площадь на два из-за слова «квадратный» тоже не нужно: квадратные единицы обозначают способ измерения.

Составная фигура: сложить или вычесть

Если участок разбит на части без наложений, его площадь равна сумме площадей частей. Если из большой фигуры исключён дом, бассейн или клумба, площадь оставшейся части находят вычитанием. Перед вычислением убедитесь, что исключённые части не пересекаются: общую область нельзя вычитать дважды.

S_{\text{остаток}}=S_{\text{всего}}-S_{\text{исключённой части}}.

Для длины границы действует другая проверка. Общая сторона двух соседних прямоугольников находится внутри объединённой фигуры и не входит в её внешний периметр. Сумма периметров частей поэтому обычно больше периметра целого. Обведите внешнюю границу карандашом и складывайте только нужные отрезки.

В задаче с воротами или проездом из полного периметра вычитают ширину незакрытого промежутка. Число вычитаемых промежутков определяется условием. Один проезд — одно вычитание; нельзя удваивать его ширину только потому, что у него две стороны.

Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Наклонная конструкция и её горизонтальная и вертикальная проекции образуют прямоугольный треугольник. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Если известны оба катета, складывают их квадраты; если известны гипотенуза и один катет, квадраты вычитают.

c^2=a^2+b^2,\qquad c=\sqrt{a^2+b^2},\qquad a=\sqrt{c^2-b^2}.

Если концы троса закреплены над землёй на разных высотах, вертикальный катет равен разности этих высот. Ни одна из высот по отдельности не описывает подъём между креплениями. Проведите через нижнее крепление горизонтальную линию до второго здания — нужный треугольник станет виден.

Теорему Пифагора применяют только при прямом угле. Перспективный рисунок сам по себе не доказывает перпендикулярность. Ищите её в условии: вертикальная стена, горизонтальная земля, прямоугольник или явно отмеченный прямой угол.

Равные углы, окружность и подобие

Полный оборот составляет $360^\circ$ . Если лучи из центра делят его на равные части, угол между соседними лучами равен полному углу, делённому на количество частей. В колесе с равномерно расположенными спицами число промежутков равно числу спиц: последний промежуток замыкается между последней и первой.

\alpha=\frac{360^\circ}{n}.

Когда задача связана с тенью или масштабной копией, могут помочь подобные треугольники. Соответствующие стороны пропорциональны, но сначала нужно обосновать подобие: например, оба треугольника прямоугольные и имеют равный острый угол. Не составляйте пропорцию лишь потому, что рисунки похожи.

Отношение длин и отношение площадей различаются. Если все длины увеличены в $k$ раз, площади увеличиваются в $k^2$ раз. Это удобно для проверки масштаба, но применять правило можно только при одинаковом изменении всех соответствующих длин.

Единицы и проверка масштаба

До подстановки приведите длины к одним единицам. Один метр содержит сто сантиметров, а квадратный метр — десять тысяч квадратных сантиметров. Коэффициент перевода площади возводится в квадрат, потому что меняются обе стороны единичного квадрата.

1\text{ м}=100\text{ см},\qquad 1\text{ м}^2=10\,000\text{ см}^2.

В черновике подпишите единицу результата и сравните её с вопросом. В бланк переносится само число без обозначения единицы. Если ответ получился неожиданно большим, сначала проверьте перевод и выбор величины, затем арифметику.

Алгоритм решения задания 10

Прочитайте последний вопрос. Определите, требуется длина, площадь, угол или отношение.
Постройте простую схему. Оставьте на ней только нужные фигуры, отрезки и подписи.
Перенесите данные. Отметьте прямые углы, равные стороны, разность высот или исключаемую часть.
Выберите формулу. Запишите её с буквами и проверьте условия применения.
Вычислите искомую величину. Не округляйте промежуточный корень, если его можно извлечь точно.
Учтите практическое условие. Вычтите проезд или занятую площадь, если этого требует вопрос.
Проверьте единицы и границы ответа. Гипотенуза длиннее каждого катета, часть меньше целого, угол между соседними спицами меньше полного оборота.

Примените формулу к новой схеме

Сначала выберите искомую величину, затем считайте. После проверки откройте пояснение и сравните, одинаковую ли геометрическую модель вы использовали.

Решить задачу по геометрии

Примеры с разбором

Пример 2. Угол между спицами

Задание 10

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

Колесо имеет $24$ спицы. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.

Колесо с 24 равномерно расположенными спицами — Спицы делят полный угол на равные части.

Вокруг центра замкнутый круг, поэтому равных промежутков тоже двадцать четыре. Делим полный угол на их количество:

\alpha=\frac{360^\circ}{24}=15^\circ.

Ответ: $15$ . Проверка: $24\cdot15^\circ=360^\circ$ . Если поделить на число промежутков в незамкнутом ряду, получится другая величина. Именно замыкание окружности объясняет, почему здесь не нужно вычитать единицу из количества спиц.

Пример 3. Забор с проездом

Задание 10

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны $30$ м и $75$ м. Найдите длину забора в метрах, которым нужно огородить участок, если предусмотрен проезд шириной $4$ м.

Прямоугольный участок 75 на 30 м с проездом шириной 4 м — Проезд занимает часть границы участка.

Полная граница состоит из двух длинных и двух коротких сторон. Проезд остаётся без забора, поэтому его ширину вычитаем один раз:

P=2(30+75)=210,\qquad L=210-4=206.

Ответ: $206$ . Проверка: вместе с проездом ограждаемая граница имеет длину $206+4=210$ м. Площадь участка здесь не нужна. Указание ширины проезда относится к длине разрыва в ограждении, поэтому вычитать её из площади было бы действием с несовместимыми единицами.

Пример 4. Наклонный транспортёр

Задание 10

ФИПИ

Между зданиями завода и склада, находящимися друг от друга на расстоянии $15$ м, установлен уличный автоматический транспортёр. Края креплений транспортёра находятся на высоте $12$ м и $4$ м от земли. Найдите длину транспортёра. Ответ дайте в метрах.

Наклонный транспортёр между зданиями: расстояние 15 м, высоты креплений 12 и 4 м — Исходный рисунок к задаче ФИПИ.

Нижний конец находится не на земле. Вертикальный подъём от него до верхнего конца равен разности высот. Горизонтальный катет — расстояние между зданиями.

b=12-4=8,\qquad L=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17.

Ответ: $17$ . Проверка: наклонный отрезок длиннее горизонтального расстояния $15$ м, а сумма квадратов катетов равна квадрату ответа: $17^2=289$ . Если использовать высоту верхнего крепления целиком, мы решим задачу о другом отрезке — от земли до верхней точки.

Такую схему полезно тренировать отдельно: одинаковая идея встречается у тросов, лестниц и переходов. В каждом случае сначала определяют действительный вертикальный перепад и только затем применяют теорему Пифагора.

Типичные ошибки

Находить площадь вместо длины. Слова «забор», «ограда», «провод» обычно относятся к длине. Сверяйте формулу с единицами ответа.
Оставлять в ответе площадь всего участка. Если спрашивают свободную часть, вычтите площадь занятой области и проверьте сумму частей.
Удваивать ширину одного проезда. Ширина уже задаёт весь разрыв в ограждении. Его края не являются двумя отдельными проездами.
Брать полную высоту вместо разности высот. Постройте горизонталь через нижнее крепление и подпишите вертикальный катет.
Складывать катеты вместо квадратов. Сумма катетов — путь по двум сторонам, а не длина наклонного отрезка.
Считать промежутки между спицами как в ряду. На окружности есть ещё промежуток от последней спицы до первой.
Переводить площадь как длину. Для квадратных единиц коэффициент перевода длины возводится в квадрат.
Измерять схему вместо использования данных. Рисунок помогает выбрать связи, но длины берутся из условия. Масштабный вид не заменяет числовую подпись.

Связь с другими заданиями

В задании 9 площади и длины часто читают по клетчатому плану. В задании 12 те же свойства плоских фигур используют в геометрической формулировке. А в задании 11 практический сюжет переходит в пространство: там нужно отличать площадь поверхности от объёма.

Если вычисления вызывают больше трудностей, чем построение схемы, отдельно повторите дроби и порядок действий из задания 14. Если же формула известна, но выбрана неверная фигура, полезнее разбирать условия словами и рисовать схему до вычислений.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: формулы и единицы

Повторите периметр и площадь прямоугольника, квадрата и треугольника. Для каждого примера сначала назовите величину и единицу ответа, затем выберите формулу. Чередуйте задачи на длину и площадь: серия только одного типа позволяет угадывать действие по привычке.

Добавьте короткие упражнения на перевод метров, сантиметров и квадратных единиц. Проверяйте перевод через размеры единичного квадрата, если коэффициент не вспоминается сразу.

Вторая неделя: части фигуры

Решайте задачи на свободную площадь, проезды и составные участки. На схеме заштриховывайте область, которую ищете, или обводите нужную границу. После решения записывайте обратное равенство, восстанавливающее целое.

Сравните два условия с одинаковыми числами, но разными вопросами: найти периметр и найти площадь. Цель — научиться выбирать действие по смыслу, а не по набору данных.

Третья неделя: прямые углы и окружность

Тренируйте теорему Пифагора в задачах с высотами креплений и наклонными отрезками. Каждый раз отмечайте прямой угол и гипотенузу. Отдельно повторите деление полного оборота на равные части и объясните, почему число промежутков на окружности равно числу спиц.

Если ответ содержит неудобный корень, не спешите округлять: проверьте разность высот и квадраты чисел. Иногда сложный результат указывает на неверно построенную модель.

Четвёртая неделя: смешанная практика

Решайте задания без подсказки о формуле. Ориентир из проекта спецификации — десять минут на весь путь от чтения до записи проверенного ответа. Сначала добейтесь устойчивой точности, затем сокращайте лишние действия.

В журнале ошибок фиксируйте причину: не тот объект, не та формула, неверная единица или арифметика. Вернитесь к ошибочной задаче через несколько дней и решите её заново с чистого черновика.

Закрепите алгоритм на новых задачах

Чередуйте разные формулировки. После ошибки записывайте её причину и повторяйте задачу через несколько дней без открытого решения.

Начать тренировку

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 10

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Уровень задания — базовый. Частичных баллов за отдельные шаги решения нет.

В проекте спецификации ФИПИ 2027 указано примерное время выполнения — 10 минут. Это ориентир для распределения времени. Начинайте с точных решений без таймера, затем тренируйте весь путь от чтения до проверки ответа.

Периметры и площади плоских фигур, углы, теорема Пифагора и перевод единиц. В проекте демоверсии 2027 представлены участок с домом, колесо со спицами и ограждение с проездом. Эти примеры не исчерпывают все формулировки.

Площадь описывает занятую часть плоскости, периметр — длину границы. Для забора обычно считают длину границы с учётом проезда, для свободной земли — разность площадей.

Горизонтальный катет равен горизонтальному расстоянию между креплениями, вертикальный — разности их высот. Наклонный трос является гипотенузой полученного прямоугольного треугольника.

Спицы расположены по замкнутой окружности. После промежутков между соседними спицами остаётся ещё промежуток от последней спицы до первой. Полный угол делят на количество спиц.

В черновике единицы помогают контролировать вычисление. В бланк записывают только число в требуемых условием единицах, без слов и обозначений. Конечную десятичную дробь записывают с запятой.

В опубликованном проекте спецификации ФИПИ 2027 указано, что изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи материалы имеют статус проекта; окончательную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

Источники и актуальность

Параметры задания проверены по комплекту проектов ФИПИ по математике 2027: спецификация базового уровня, страницы 9, 11–12. Три примера взяты из демоверсии, страницы 22–23; их результаты независимо вычислены и сверены с ключами на странице 33. Пример с транспортёром взят из банка заданий ФИПИ; длина проверена по теореме Пифагора. Примеры демонстрируют возможные формулировки и не являются исчерпывающим перечнем задач.

Правила краткого ответа приведены в инструкции демоверсии. Советы по решению, разбор ошибок и план подготовки — учебные рекомендации статьи. Последующие редакции документов доступны в разделе демоверсий ФИПИ. Статья актуальна на 5 сентября 2026 года.

Переходите к самостоятельной практике

Выберите следующий пример, выполните решение на черновике и проверьте его по исходному условию. Устойчивый навык складывается из понятных шагов и самостоятельной проверки.

Решать задание 10 Банк базовой математики Другие разборы