тема 3 из 12

Арифметический корень

Арифметический корень $\sqrt[n]{a}$ из $a \ge 0$ — неотрицательное число, $n$ -я степень которого равна $a$ . Корень нечётной степени из отрицательного числа тоже есть, и он отрицателен. Корни одной степени перемножают и делят под одним знаком корня. Из полных квадратов $1, 4, 9, 16, \ldots$ корень извлекается нацело.

Основа для заданий7 10 12Часто в задании8На карте навыков

Свойства арифметического корня
—В аналитике

Свойства корня

$\sqrt{a} = b$ значит $b \ge 0$ и $b^2 = a$ . Так же $\sqrt[n]{a} = b$ значит $b \ge 0$ и $b^n = a$ . Арифметический корень определён при $a \ge 0$ .

$(\sqrt{a})^2 = a$ и $\sqrt{a^2} = |a|$ .
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ при $a \ge 0$ , $b > 0$ .
$(k\sqrt{a})^2 = k^2 \cdot a$ .
Уравнение $\sqrt{x} = m$ при $m \ge 0$ имеет один корень $x = m^2$ . При $m < 0$ корней нет.

Корень не бывает отрицательным

$\sqrt{a}$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ . Квадрат равен 9 у двух чисел, $3$ и $-3$ , но $\sqrt{9} = 3$ . Оба числа $\pm 3$ — это корни уравнения $x^2 = 9$ . Поэтому $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Пример

Найдите $\sqrt{(-3)^2}$ .

1. $(-3)^2 = 9$ .
2. $\sqrt{9} = 3$ , потому что корень неотрицателен: $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$ .

Ответ: $3$

Корень — сторона квадрата

\sqrt{20} \approx 4{,}47

S

20

4^2 = 16 < 20 < 25 = 5^2

, поэтому

4 < \sqrt{20} < 5

. Целым корень не будет.

\sqrt{S}

— сторона квадрата площади

S

, поэтому корень не бывает отрицательным. Тяните угол квадрата: при

S = 1, 4, 9, 16, \ldots

сторона целая. Такие абсциссы и берут на графике

y = a\sqrt{x}

Полные квадраты

1–5	6–10	11–15	16–20
$1^2 = 1$	$6^2 = 36$	$11^2 = 121$	$16^2 = 256$
$2^2 = 4$	$7^2 = 49$	$12^2 = 144$	$17^2 = 289$
$3^2 = 9$	$8^2 = 64$	$13^2 = 169$	$18^2 = 324$
$4^2 = 16$	$9^2 = 81$	$14^2 = 196$	$19^2 = 361$
$5^2 = 25$	$10^2 = 100$	$15^2 = 225$	$20^2 = 400$

Корень степени n

Арифметический корень $\sqrt[n]{a}$ при $a \ge 0$ — неотрицательное число, $n$ -я степень которого равна $a$ . Корня чётной степени из отрицательного числа нет. Нужные степени есть в таблице степеней. Корень — это степень с дробным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ . Так считают корни разной степени.

Корень нечётной степени есть и у отрицательного числа, и он отрицателен: $\sqrt[3]{-125} = -5$ , потому что $(-5)^3 = -125$ . Это не арифметический корень. Он нужен в степенных уравнениях.

Пример

Найдите $\sqrt[4]{16}$ .

1.Ищите неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 16.
2. $2^4 = 16$ , поэтому $\sqrt[4]{16} = 2$ .

Ответ: $2$

Корни одной степени — под один корень

Произведение и частное корней одной степени запишите под одним корнем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ при $a \ge 0$ , $b > 0$ . Сначала сократите дробь под корнем, потом извлекайте корень. Так же считают корень, умноженный на табличное значение синуса или косинуса.

Под один корень собирают только произведение и частное. Корень суммы считают целиком: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

Пример

Найдите $\frac{\sqrt[3]{400} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{80}}$ .

1.Соберите под один корень: $\sqrt[3]{\frac{400 \cdot 25}{80}}$ .
2.Сократите: $\frac{400}{80} = 5$ , под корнем $5 \cdot 25 = 125$ .
3. $\sqrt[3]{125} = 5$ .

Ответ: $5$

Множитель из-под корня

Найдите под корнем полный квадрат и вынесите его корень: $\sqrt{k^2 a} = k\sqrt{a}$ . После этого одинаковые корни складывают и вычитают как подобные слагаемые. Разные на вид корни часто становятся одинаковыми: $\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ и $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ .

Пример

Найдите $(\sqrt{96} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{6}$ .

1. $\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ , $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ .
2. $4\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$ .
3. $2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 2 \cdot 6 = 12$ .

Ответ: $12$

Квадрат произведения с корнем

В квадрат возводят каждый множитель, и число перед корнем тоже: $(k\sqrt{a})^2 = k^2 \cdot (\sqrt{a})^2 = k^2 a$ .

Пример

Найдите $\frac{(2\sqrt{3})^2}{5}$ .

1. $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot 3 = 12$ .
2. $\frac{12}{5} = 2{,}4$ .

Ответ: $2{,}4$

Квадрат суммы корней

Раскройте скобку по формуле квадрата суммы: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$ . Квадраты корней дают числа, а корень остаётся только в удвоенном произведении. Если корень в ответе не извлекается нацело, ищите общий множитель числителя и знаменателя.

Пример

Найдите $\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{60 + 10\sqrt{35}}$ .

1. $(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + 5 = 12 + 2\sqrt{35} = 2(6 + \sqrt{35})$ .
2. $60 + 10\sqrt{35} = 10(6 + \sqrt{35})$ .
3. $\frac{2(6 + \sqrt{35})}{10(6 + \sqrt{35})} = \frac{2}{10} = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать