тема 10 из 10

Две окружности в задаче с параметром

Система из двух уравнений окружностей имеет столько решений, сколько общих точек у окружностей. Это число зависит только от расстояния между центрами $d$ и радиусов $R$ и $r$ . Если параметр меняет радиус или двигает центр, условие на $d$ превращается в уравнение или неравенство для параметра.

Реже в задании19На карте навыков

Две окружности с параметром
—В аналитике

Сравните d с R + r и R − r

Окружности с радиусами $R \ge r$ и расстоянием между центрами $d$ : две общие точки при $R - r < d < R + r$ , одна при $d = R + r$ или $d = R - r > 0$ , ни одной при $d > R + r$ или $d < R - r$ (все положения).

Выделите полные квадраты и найдите центры и радиусы (уравнение окружности). Радиус окружности $x^2 + y^2 = a^2$ равен $|a|$ .
Найдите $d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$ ; если движется центр, $d$ зависит от параметра.
Запишите условие задачи через $d$ , $R$ , $r$ и решите его относительно параметра.
Модуль в уравнении даёт несколько окружностей: сравните подвижную окружность с каждой и сложите общие точки.

Параметр в радиусе

Если параметр стоит только в радиусе, центры неподвижны и $d$ — число. Пусть центр растущей окружности лежит вне неподвижной. Тогда при росте радиуса общих точек сначала нет, затем внешнее касание, две точки, внутреннее касание и снова ни одной точки.

Для $x^2 + y^2 = a^2$ радиус равен $|a|$ , поэтому условия получаются с модулем: две общие точки — $|R - |a|| < d < R + |a|$ . При $a = 0$ уравнение задаёт одну точку — центр, её проверяют отдельно.

Радиус и центр меняются с параметром

(x - 3)^2 + y^2 = 1

x^2 + y^2 = 3^2

a

3

Критические:

Общих точек: 2

a = 3

— не критическое значение.

x^2 + y^2 = 4

(x - 2{,}5)^2 + (y - 2{,}5)^2 = 1

a

2{,}5

Критические:

Общих точек: 0

a = 2{,}5

— не критическое значение.

Число общих точек меняется только при касании:

d = R + r

или

d = R - r

. Двигайте ползунок

a

или нажмите критическое значение.

Окружность с центром

C(3; 4)

и радиусом 4. Пунктир — окружности

x^2 + y^2 = a^2

в положениях касания:

|a| = 1

|a| = 9

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 6 x + 8 y - 9 , \\ x^{2} + y^{2} = a^{2} \end{matrix}\right.$
имеет ровно два различных решения.

Решение

$x^2 + y^2 = 6x + 8y - 9$ равносильно $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$ : окружность с центром $C(3; 4)$ и $R = 4$ .
При $a \ne 0$ уравнение $x^2 + y^2 = a^2$ — окружность с центром $O(0; 0)$ и радиусом $|a|$ . При $a = 0$ это точка $O$ , она не лежит на первой окружности: $9 + 16 \ne 16$ .
$d = OC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ .
Ровно два решения — две общие точки: $|4 - |a|| < 5 < 4 + |a|$ .
$5 < 4 + |a|$ даёт $|a| > 1$ . $|4 - |a|| < 5$ даёт $-1 < |a| < 9$ , то есть $|a| < 9$ .
Ответ: $(-9; -1) \cup (1; 9)$ .

Параметр в центре

Если параметр стоит в координатах центра, центр движется по линии, обычно по прямой, а $d$ зависит от параметра. Запишите $d$ по формуле расстояния и решите уравнения $d = R + r$ и $d = R - r$ : они дают положения касания. Между ними — две общие точки, за ними — ни одной.

При $d = 0$ окружности концентричны: при $R \ne r$ общих точек нет, при $R = r$ окружности совпадают и решений бесконечно много.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система $\begin{cases} (x - a)^2 + (y - 2a)^2 = 1, \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$ имеет единственное решение.

Центр малой окружности движется по прямой

y = 2x

. Пунктир — четыре положения касания.

1.Вторая окружность: центр $O(0; 0)$ , $R = 3$ . Первая: центр $C(a; 2a)$ на прямой $y = 2x$ , $r = 1$ .
2. $d = OC = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5}\,|a|$ .
3.Единственное решение — касание: $d = R + r = 4$ или $d = R - r = 2$ .
4. $\sqrt{5}\,|a| = 4$ : $a = \pm\frac{4\sqrt{5}}{5}$ . $\sqrt{5}\,|a| = 2$ : $a = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .
5.При $d < 2$ малая окружность внутри большой, при $2 < d < 4$ — две общие точки, при $d > 4$ — ни одной.

Ответ: $a = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$ , $a = \pm\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Несколько окружностей из одного уравнения

Уравнение $(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9$ задаёт две окружности, симметричные относительно оси $y$ : при $x \ge 0$ — с центром $(5; 4)$ , при $x < 0$ — с центром $(-5; 4)$ (раскрытие модуля). Проверьте, что каждая окружность целиком лежит в своей полуплоскости.

Подвижную окружность сравнивают с каждой отдельно и складывают общие точки. Ровно одно решение — касание с одной окружностью и ни одной общей точки с другой. Значения, при которых касание с одной окружностью совпадает с пересечением другой, не подходят.

Пример

Найдите все положительные значения $a$ , при каждом из которых система $\begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9, \\ (x + 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases}$ имеет единственное решение.

Окружности

\omega_1

\omega_2

радиуса 3. Пунктир — окружность с центром

C(-2; 0)

при

a = 2

a = \sqrt{65} + 3

1.При $x \ge 0$ первое уравнение — окружность $\omega_1$ с центром $C_1(5; 4)$ и радиусом 3, при $x < 0$ — окружность $\omega_2$ с центром $C_2(-5; 4)$ и радиусом 3. Обе лежат в своих полуплоскостях целиком: $2 \le x \le 8$ и $-8 \le x \le -2$ .
2.Второе уравнение при $a > 0$ — окружность $\omega$ с центром $C(-2; 0)$ и радиусом $a$ .
3. $CC_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , $CC_1 = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$ .
4. $\omega$ и $\omega_2$ касаются при $a = 5 - 3 = 2$ и $a = 5 + 3 = 8$ , имеют две общие точки при $2 < a < 8$ . $\omega$ и $\omega_1$ касаются при $a = \sqrt{65} - 3$ и $a = \sqrt{65} + 3$ , имеют две общие точки между этими значениями.
5.Так как $8 < \sqrt{65} < 9$ , получаем $2 < \sqrt{65} - 3 < 8 < \sqrt{65} + 3$ .
6. $a = 2$ : касание с $\omega_2$ , с $\omega_1$ общих точек нет — подходит. $a = 8$ : $\omega$ пересекает $\omega_1$ в двух точках — не подходит. $a = \sqrt{65} - 3$ : $\omega$ пересекает $\omega_2$ — не подходит. $a = \sqrt{65} + 3 > 8$ : с $\omega_2$ общих точек нет — подходит.

Ответ: $a = 2$ , $a = \sqrt{65} + 3$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать