тема 5 из 10

Модуль в задачах с параметром

Модуль раскрывают по знаку выражения под ним: $|f| = f$ при $f \ge 0$ и $|f| = -f$ при $f < 0$ . С параметром граница между случаями зависит от $a$ , поэтому корень каждого случая проверяют условием этого случая. Уравнение $|f| = g$ распадается на $f = g$ и $f = -g$ при $g \ge 0$ . График $y = |x - a|$ — уголок, который сдвигается вдоль оси при изменении $a$ .

Часто в задании19На карте навыков

Модуль в уравнениях и неравенствах с параметром
—В аналитике

Модуль с параметром

$|f| = f$ при $f \ge 0$ и $|f| = -f$ при $f < 0$ (модуль).

Найдите, где выражение под модулем меняет знак: $x = 0$ для $|x|$ , $x = a$ для $|x - a|$ .
Решите уравнение в каждом случае. Оставьте корни, которые удовлетворяют условию своего случая.
$|f| = g$ : $f = g$ или $f = -g$ , и $g \ge 0$ . $|f| = |g|$ : $f = g$ или $f = -g$ , без условия.
$|x - p| + |x - q| \ge |p - q|$ , и равенство выполнено на всём отрезке между $p$ и $q$ .
График $y = |x - a|$ — уголок с вершиной $(a; 0)$ . С ростом $a$ он сдвигается вправо.
Посчитайте различные корни: корни двух случаев могут совпасть.

Раскрытие модуля по знаку

Модуль $|x|$ раскрывают отдельно при $x \ge 0$ и при $x < 0$ . В каждом случае получается уравнение без модуля. Его корень — решение исходного уравнения, только если он удовлетворяет условию своего случая. Например, корень $x = \frac{a}{2}$ случая $x \ge 0$ годится лишь при $a \ge 0$ . Если модулей несколько, нули выражений под ними делят ось на промежутки. На каждом промежутке выражение без модулей линейно, и по наклону видно, где оно возрастает, убывает или постоянно.

Если уравнение квадратное и по $x$ , и по $a$ , решите его как квадратное относительно $a$ . Дискриминант часто оказывается полным квадратом, и левая часть раскладывается на два линейных множителя. На плоскости $(x; a)$ это две прямые, а модуль переключает пары прямых на оси $x = 0$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых уравнение
$a^{2} - ax - 2 x^{2} - 6 a + 3 x + 9 \left|x\right| = 0$
имеет четыре различных корня.

Решение

$x \ge 0$ : $|x| = x$ , уравнение $a^2 - (x + 6)a - 2x^2 + 12x = 0$ . Как квадратное по $a$ : $D = (x + 6)^2 + 8x^2 - 48x = 9(x - 2)^2$ , $a = \frac{x + 6 \pm 3(x - 2)}{2}$ , то есть $a = 2x$ или $a = 6 - x$ .
Корни этого случая: $x = \frac{a}{2}$ (есть при $a \ge 0$ ) и $x = 6 - a$ (есть при $a \le 6$ ).
$x < 0$ : $|x| = -x$ , уравнение $a^2 - (x + 6)a - 2x^2 - 6x = 0$ , $D = 9(x + 2)^2$ : $a = 2x + 6$ или $a = -x$ .
Корни этого случая: $x = \frac{a - 6}{2}$ (есть при $a < 6$ ) и $x = -a$ (есть при $a > 0$ ).
Четыре корня возможны только при $0 < a < 6$ : тогда все четыре корня существуют.
Корни разных случаев не совпадают: у них разные знаки. $\frac{a}{2} = 6 - a$ при $a = 4$ , $\frac{a - 6}{2} = -a$ при $a = 2$ . При этих значениях корней три.
Ответ: $0 < a < 2;\ 2 < a < 4;\ 4 < a < 6$ .

Модуль равен выражению: два случая и условие

Уравнение $|f| = g$ равносильно совокупности $f = g$ или $f = -g$ при условии $g \ge 0$ . Вместо $g \ge 0$ можно проверить знак $f$ : корень уравнения $f = g$ годится при $f \ge 0$ , корень уравнения $f = -g$ — при $f \le 0$ . Выберите то условие, которое проще.

Если $g$ зависит только от $a$ , условие $g \ge 0$ отсекает часть значений $a$ сразу. При $g = 0$ оба случая совпадают, и корни считают один раз.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $|x^2 - 2x - 3| = a$ имеет ровно три различных корня.

1.При $a < 0$ корней нет: модуль не бывает отрицательным.
2.При $a \ge 0$ : $x^2 - 2x - 3 = a$ или $x^2 - 2x - 3 = -a$ , то есть $(x - 1)^2 = 4 + a$ или $(x - 1)^2 = 4 - a$ .
3.Первое уравнение при $a \ge 0$ имеет два корня $x = 1 \pm \sqrt{4 + a}$ .
4.Второе: два корня при $a < 4$ , один корень $x = 1$ при $a = 4$ , нет корней при $a > 4$ .
5.При $a = 0$ уравнения совпадают: корней два. При $0 < a < 4$ корней четыре. При $a = 4$ три: $1 - 2\sqrt{2}$ , $1$ , $1 + 2\sqrt{2}$ . При $a > 4$ два.

Ответ: $a = 4$

Модуль равен модулю

Уравнение $|f| = |g|$ равносильно совокупности $f = g$ или $f = -g$ без дополнительных условий: обе части неотрицательны всегда. То же даёт разность квадратов: $f^2 - g^2 = (f - g)(f + g) = 0$ . Корень обоих уравнений сразу — это точка, где $f = g = 0$ : при таком $a$ различных корней на один меньше.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $|x^2 - 3x| = |x - a|$ имеет ровно три различных корня.

1. $x^2 - 3x = x - a$ , то есть $x^2 - 4x + a = 0$ , $\frac{D_1}{4} = 4 - a$ .
2. $x^2 - 3x = a - x$ , то есть $x^2 - 2x - a = 0$ , $\frac{D_2}{4} = 1 + a$ .
3.Общий корень: $x^2 - 3x = 0$ и $x - a = 0$ , то есть $x = a = 0$ или $x = a = 3$ .
4.При $-1 < a < 4$ у каждого уравнения два корня. Три различных корня — только при совпадении: $a = 0$ (корни $0$ , $2$ , $4$ ) и $a = 3$ (корни $-1$ , $1$ , $3$ ).
5. $a = -1$ : у второго уравнения один корень $x = 1$ , у первого два: $2 \pm \sqrt{5}$ . Всего три.
6. $a = 4$ : у первого один корень $x = 2$ , у второго два: $1 \pm \sqrt{5}$ . Всего три.
7.При $a < -1$ и при $a > 4$ корней два.

Ответ: $a = -1;\ a = 0;\ a = 3;\ a = 4$

Сумма двух модулей

$|x - p|$ — расстояние от $x$ до $p$ на числовой прямой. Поэтому $|x - p| + |x - q| \ge |p - q|$ , и равенство выполнено на всём отрезке между $p$ и $q$ . Вне отрезка сумма растёт и каждое значение $t > |p - q|$ принимает ровно в двух точках. Уравнение $|x - p| + |x - q| = t$ при $t < |p - q|$ не имеет корней, при $t = |p - q|$ имеет бесконечно много корней, при $t > |p - q|$ — ровно два.

Если сумма модулей повторяется, обозначьте её $t$ , $t \ge |p - q|$ (замена). Корень $t = |p - q|$ даёт бесконечно много $x$ . Уравнение $|u - m| + |u - n| = |m - n|$ равносильно двойному неравенству: $u$ лежит между $m$ и $n$ . Разность $|x - p| - |x - q|$ принимает значения от $-|p - q|$ до $|p - q|$ : каждое значение строго между ними — ровно в одной точке, а крайние — на целом луче.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $(|x - 1| + |x + 3|)^2 - (a + 5)(|x - 1| + |x + 3|) + 5a = 0$ имеет ровно два различных корня.

1.Пусть $t = |x - 1| + |x + 3|$ . Расстояние между точками $1$ и $-3$ равно 4, поэтому $t \ge 4$ . При $t = 4$ корни $x$ — весь отрезок $[-3; 1]$ , при $t > 4$ два корня.
2.Уравнение $t^2 - (a + 5)t + 5a = 0$ раскладывается: $(t - 5)(t - a) = 0$ .
3. $t = 5 > 4$ даёт два корня $x$ при любом $a$ .
4. $t = a$ : при $a < 4$ корней нет, при $a = 4$ бесконечно много, при $a > 4$ и $a \ne 5$ ещё два корня, при $a = 5$ корни совпадают с уже найденными.
5.Ровно два корня: $a < 4$ или $a = 5$ .

Ответ: $a < 4;\ a = 5$

Сумма модулей и уровень t

|x + 1| + |x - 2| = 5

Два корня:

x = -2

x = 3

График суммы

|x - p| + |x - q|

— ломаная с горизонтальным дном между

p

q

. Двигайте точки

p

q

и прямую

t

Уголок y = |x − a| на графике

График $y = |x - a|$ — уголок с вершиной $(a; 0)$ : правая ветвь $y = x - a$ при $x \ge a$ , левая $y = a - x$ при $x \le a$ . При изменении $a$ уголок сдвигается вдоль оси $Ox$ , не меняя формы. Число общих точек с неподвижным графиком меняется, только когда ветвь касается графика, вершина уголка попадает на график или ветвь проходит через конец графика.

Каждое такое положение даёт уравнение для $a$ . Касание правой ветви — $D = 0$ у уравнения $x - a = g(x)$ , и точка касания должна лежать правее вершины: $x \ge a$ . Вершина на графике — $g(a) = 0$ . Между соседними особыми значениями число точек постоянно: проверьте его в одной точке каждого промежутка.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $|x - a| = \frac{x^2}{4}$ имеет ровно четыре различных корня.

При

a = 1

правая ветвь касается параболы в точке

(2; 1)

. При

a = 0

(пунктир) вершина уголка лежит на параболе.

1.Правая ветвь, $x \ge a$ : $x - a = \frac{x^2}{4}$ , то есть $x^2 - 4x + 4a = 0$ . Касание: $\frac{D}{4} = 4 - 4a = 0$ , $a = 1$ , точка $x = 2 \ge 1$ .
2.Левая ветвь, $x \le a$ : $x^2 + 4x - 4a = 0$ . Касание: $4 + 4a = 0$ , $a = -1$ , точка $x = -2 \le -1$ . Вершина $(a; 0)$ на параболе: $\frac{a^2}{4} = 0$ , $a = 0$ .
3.При $0 < |a| < 1$ у обоих уравнений $D > 0$ . Значение каждого трёхчлена в точке $a$ равно $a^2 > 0$ , вершина первого $x = 2$ правее $a$ , вершина второго $x = -2$ левее $a$ . Значит, оба корня первого уравнения правее $a$ , оба корня второго левее $a$ (положение корней): корней четыре.
4.При $a = 0$ корни $-4$ , $0$ , $4$ : три. При $a = \pm 1$ одна ветвь касается: корней три. При $|a| > 1$ у одного уравнения $D < 0$ : корней два.

Ответ: $-1 < a < 0;\ 0 < a < 1$

Уголок движется вдоль оси

|x + 2| = \frac{x^2}{4}

a

-2

При

a = -2

общих точек: 2.

Вершина уголка

y = |x - a|

— точка

(a; 0)

. Двигайте ползунок

a

и сравните две параболы: особые положения у них разные.

Перевёрнутый уголок: ветви заменяют прямыми

График $y = b - |x - a|$ — уголок ветвями вниз с вершиной $(a; b)$ . При изменении $a$ вершина движется по прямой $y = b$ . Правая ветвь — часть прямой $y = -x + a + b$ при $x \ge a$ , левая — часть прямой $y = x - a + b$ при $x \le a$ . Обе ветви — это части своих прямых, которые лежат не выше $y = b$ .

Если неподвижная фигура лежит не выше прямой $y = b$ , условия $x \ge a$ и $x \le a$ можно отбросить: каждая общая точка фигуры с полной прямой лежит на ветви. Тогда считают общие точки фигуры с каждой прямой отдельно и складывают. Прямые пересекаются только в вершине уголка: если она лежит на фигуре, её считают один раз. Для уголка $y = |x - a| + b$ то же верно, когда фигура лежит не ниже прямой $y = b$ .

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} y = -|x - a| + 1, \\ |y| + x^2 + 2x = 0 \end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.

Фигура

|y| = -x^2 - 2x

лежит не выше прямой

y = 1

(пунктир). Уголок при

a = -\frac{3}{4}

: правая ветвь касается верхней дуги.

1.Второе уравнение: $|y| = -x^2 - 2x$ , правая часть неотрицательна при $-2 \le x \le 0$ . Фигура $F$ — дуга $y = -x^2 - 2x$ (где $y \ge 0$ ) и дуга $y = x^2 + 2x$ (где $y \le 0$ ) с общими концами $(-2; 0)$ и $(0; 0)$ . Её верхняя точка $(-1; 1)$ , поэтому $F$ лежит не выше прямой $y = 1$ .
2.Первое уравнение — уголок ветвями вниз с вершиной $(a; 1)$ . Его ветви лежат на прямых $\ell_1$ : $y = -x + a + 1$ и $\ell_2$ : $y = x - a + 1$ . Так как $F$ не выше $y = 1$ , решения системы — общие точки $F$ с $\ell_1$ и с $\ell_2$ .
3. $F$ ограничивает выпуклую область: выше выпуклой вниз дуги и ниже выпуклой вверх. Прямая имеет с границей такой области не больше двух общих точек.
4. $\ell_1$ и верхняя дуга: $x^2 + x + a + 1 = 0$ , касание при $D = -3 - 4a = 0$ , $a = -\frac{3}{4}$ (точка $x = -\frac{1}{2}$ ). $\ell_1$ и нижняя дуга: $x^2 + 3x - a - 1 = 0$ , касание при $D = 13 + 4a = 0$ , $a = -\frac{13}{4}$ (точка $x = -\frac{3}{2}$ ). Между касаниями прямая $\ell_1$ пересекает $F$ в двух точках: $-\frac{13}{4} < a < -\frac{3}{4}$ .
5. $\ell_2$ и верхняя дуга: $x^2 + 3x - a + 1 = 0$ , $D = 5 + 4a = 0$ , $a = -\frac{5}{4}$ . $\ell_2$ и нижняя дуга: $x^2 + x + a - 1 = 0$ , $D = 5 - 4a = 0$ , $a = \frac{5}{4}$ . Две общие точки при $-\frac{5}{4} < a < \frac{5}{4}$ .
6.Четыре решения — по две точки на каждой прямой: $-\frac{5}{4} < a < -\frac{3}{4}$ . Прямые пересекаются в вершине $(a; 1)$ . Она лежит на $F$ только при $a = -1$ : тогда точка $(-1; 1)$ общая, и решений три.

Ответ: $\left(-\frac{5}{4}; -1\right) \cup \left(-1; -\frac{3}{4}\right)$

Общий множитель с модулем

Если модуль входит в несколько слагаемых, ищите общий множитель: $|x^2 - a^2| = |x - a| \cdot |x + a|$ . Тогда уравнение распадается на простые. Например, $|x^2 - a^2| + 8 = |x + a| + 8|x - a|$ группируется в $(|x + a| - 8)(|x - a| - 1) = 0$ . Дальше каждое простое уравнение решают с его условием, как произведение с ОДЗ.

Равенство $|u| = \sqrt{h}$ равносильно $u^2 = h$ : условие $h \ge 0$ выполнено само, потому что $h = u^2$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых уравнение $\left|x^{2} - a^{2}\right| = \left|x + a\right| \cdot \sqrt{x^{2} - 4 ax + 5 a}$ имеет ровно один корень.

Решение

$|x^2 - a^2| = |x + a| \cdot |x - a|$ . Уравнение: $|x + a| \cdot \left(|x - a| - \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}\right) = 0$ , при условии $x^2 - 4ax + 5a \ge 0$ .
$a = 0$ : уравнение $x^2 = |x| \cdot |x|$ верно при любом $x$ . Корней бесконечно много: значение не подходит.
Первый множитель: $x = -a$ . Условие: $a^2 + 4a^2 + 5a = 5a(a + 1) \ge 0$ , то есть $a \le -1$ или $a \ge 0$ .
Второй: $|x - a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$ равносильно $(x - a)^2 = x^2 - 4ax + 5a$ , то есть $2ax = 5a - a^2$ . При $a \ne 0$ : $x = \frac{5 - a}{2}$ , условие выполнено само.
Корни совпадают: $-a = \frac{5 - a}{2}$ при $a = -5$ .
Ровно один корень: $x = -a$ не подходит, то есть $-1 < a < 0$ ; или корни совпали, $a = -5$ . При остальных $a \ne 0$ корней два.
Ответ: $a = -5;\ -1 < a < 0$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать