тема 7 из 10

Окружность и пучок прямых в задачах с параметром

Уравнение $x^2 + y^2 + px + qy + c = 0$ после выделения полных квадратов задаёт окружность с известными центром и радиусом. Прямая с параметром либо сдвигается параллельно себе, либо поворачивается вокруг точки. Число общих точек с окружностью решает расстояние от центра до прямой: меньше радиуса — две, равно — одна, больше — ни одной.

Реже в задании19На карте навыков

Окружность и пучок прямых в задачах с параметром
—В аналитике

Окружность и прямая с параметром

Окружность $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ и прямая имеют две, одну или ни одной общей точки: это решает расстояние $d$ от центра $(x_0; y_0)$ до прямой.

Выделите полные квадраты и найдите центр и радиус окружности.
Запишите прямую в виде $Ax + By + C = 0$ и найдите $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ .
$d < R$ — две общие точки, $d = R$ — касание, $d > R$ — общих точек нет. Касание даёт уравнение для параметра.
Прямые $y = kx + a$ сдвигаются параллельно; прямые $y - y_1 = a(x - x_1)$ поворачиваются вокруг точки $(x_1; y_1)$ , вертикальная прямая $x = x_1$ в этот пучок не входит.
От окружности осталась дуга — добавьте положения через концы дуги и проверьте, что точка касания лежит на дуге.
Две прямые из одного уравнения: точка окружности на обеих прямых — одно решение.

Уравнение окружности

Точка $(x; y)$ лежит на окружности с центром $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ , если её расстояние до центра равно $R$ : $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ . Уравнение $x^2 + y^2 + px + qy + c = 0$ приводят к этому виду выделением полных квадратов: $x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4}$ . Если справа получилось положительное число, это $R^2$ ; ноль — одна точка (центр); отрицательное число — точек нет.

$y = \sqrt{R^2 - x^2}$ — верхняя полуокружность: к уравнению $x^2 + y^2 = R^2$ добавляется $y \ge 0$ . Уравнение с $x$ и $a$ после выделения квадратов тоже даёт окружность, только на плоскости $(x; a)$ (пример).

Пример

Найдите центр и радиус окружности $x^2 + y^2 - 4(a + 1)x - 2ay + 5a^2 + 8a + 3 = 0$ . По какой линии движется центр при изменении $a$ ?

1.Сгруппируйте: $\left(x^2 - 4(a + 1)x\right) + \left(y^2 - 2ay\right) = -5a^2 - 8a - 3$ .
2.Выделите квадраты: $(x - 2a - 2)^2 - 4(a + 1)^2 + (y - a)^2 - a^2 = -5a^2 - 8a - 3$ .
3.Справа после переноса: $4a^2 + 8a + 4 + a^2 - 5a^2 - 8a - 3 = 1$ . Итак, $(x - 2a - 2)^2 + (y - a)^2 = 1$ .
4.Центр $(2a + 2; a)$ : $x = 2y + 2$ . При любом $a$ радиус равен 1, а центр движется по прямой $x = 2y + 2$ .

Ответ: центр $(2a + 2; a)$ , радиус 1; центр лежит на прямой $x = 2y + 2$

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ равно $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Прямую $y = kx + b$ сначала запишите как $kx - y + b = 0$ : $d = \frac{|kx_0 - y_0 + b|}{\sqrt{k^2 + 1}}$ .

Сравните $d$ с радиусом. Касание с параметром — уравнение $d = R$ : модуль в числителе даёт два случая, а после возведения в квадрат получается квадратное уравнение. Тот же ответ даёт подстановка прямой в уравнение окружности и условие $D = 0$ , но вычислений там больше.

Пример

Сколько общих точек у прямой $3x + 4y - 10 = 0$ и окружности $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0$ ?

1. $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9 + 16 - 16 = 9$ : центр $(3; 4)$ , $R = 3$ .
2. $d = \frac{|3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3$ .
3. $d = R$ : прямая касается окружности.

Ответ: одна общая точка

Прямая и окружность

Расстояние от центра до прямой	Общие точки	Дискриминант после подстановки
$d < R$	две	$D > 0$
$d = R$	одна: касание	$D = 0$
$d > R$	нет	$D < 0$

Сдвиг и поворот прямой

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8

y = x + 1

a

1

Критические:

Общих точек: 2

a = 1

— не критическое значение.

Общие точки прямой и окружности меняются только при касании. Двигайте ползунок

a

или нажмите критическое значение.

Параллельные прямые: параметр сдвигает прямую

Прямые $y = kx + a$ с одним $k$ параллельны, и при росте $a$ прямая поднимается. Окружность она касается в двух положениях: $\frac{|kx_0 - y_0 + a|}{\sqrt{k^2 + 1}} = R$ даёт $a_1 < a_2$ . При $a_1 < a < a_2$ общих точек две, при $a = a_1$ и $a = a_2$ — одна, при остальных $a$ — ни одной.

Если от окружности осталась дуга, добавьте положения через её концы. Касание засчитывается, только если точка касания лежит на дуге. Прямая $x + y = a$ — то же семейство с $k = -1$ .

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} (x^2 + y^2 + 4x)\sqrt{2x + y + 6} = 0, \\ y = x + a \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Прямая

y = -2x - 6

и дуга окружности

(x + 2)^2 + y^2 = 4

справа от неё. Пунктир — прямые

y = x + a

при

a = 2 - 2\sqrt{2}

;

0

;

4{,}8

;

2 + 2\sqrt{2}

1.Произведение равно нулю, когда $2x + y + 6 = 0$ или $x^2 + y^2 + 4x = 0$ при $2x + y + 6 \ge 0$ . Это прямая $\ell$ : $y = -2x - 6$ и часть окружности $(x + 2)^2 + y^2 = 4$ (центр $C(-2; 0)$ , $R = 2$ ) по ту же сторону от $\ell$ , что и центр.
2.Окружность и $\ell$ : $(x + 2)^2 + (2x + 6)^2 = 4$ , откуда $5x^2 + 28x + 36 = 0$ , точки $M(-2; -2)$ и $N(-3{,}6; 1{,}2)$ — концы дуги.
3.Прямая $y = x + a$ пересекает $\ell$ ровно в одной точке $x = -\frac{a + 6}{3}$ .
4.Касание: $\frac{|-2 - 0 + a|}{\sqrt{2}} = 2$ , $a = 2 \pm 2\sqrt{2}$ . Точки касания $(-2 + \sqrt{2}; -\sqrt{2})$ и $(-2 - \sqrt{2}; \sqrt{2})$ лежат на дуге: $2x + y + 6 = 2 \pm \sqrt{2} > 0$ .
5.Через $M$ прямая проходит при $a = 0$ , через $N$ — при $a = 4{,}8$ . В этих положениях точка на $\ell$ совпадает с концом дуги.
6.Вне $[2 - 2\sqrt{2}; 2 + 2\sqrt{2}]$ общих точек с окружностью нет: одно решение. При $a = 2 \pm 2\sqrt{2}$ касание: два решения. При $2 - 2\sqrt{2} < a < 0$ и $4{,}8 < a < 2 + 2\sqrt{2}$ обе точки окружности на дуге: три решения.
7.При $0 \le a \le 4{,}8$ на дуге одна точка, отличная от точки на $\ell$ , а вторая точка окружности либо отрезана, либо совпадает с $M$ или $N$ : два решения.

Ответ: $\{2 - 2\sqrt{2}\} \cup [0; 4{,}8] \cup \{2 + 2\sqrt{2}\}$

Пучок прямых: параметр поворачивает прямую

Прямые $y - y_1 = a(x - x_1)$ при всех $a$ проходят через точку $P(x_1; y_1)$ , а $a$ — их угловой коэффициент. Вертикальная прямая $x = x_1$ в пучок не входит. Если параметр стоит при $y$ , как в $x - 2 + a(y + 1) = 0$ , пучок через $(2; -1)$ содержит вертикальную прямую ( $a = 0$ ), но не горизонтальную $y = -1$ .

Если $P$ вне окружности, из неё идут две касательные: условие $d = R$ даёт квадратное уравнение относительно $a$ . Прямые пучка, которые проходят между касательными, пересекают окружность в двух точках, остальные — не пересекают. Если $P$ внутри окружности, каждая прямая пучка даёт две точки.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} (x^2 + y^2 + 4x)\sqrt{2x + y + 6} = 0, \\ y = ax - 2a \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Та же фигура. Пунктир — прямые через

P(2; 0)

: две касательные (

a = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}

) и прямые через концы дуги

N

M

(

a = -\frac{3}{14}

a = \frac{1}{2}

1.Первое уравнение — прямая $\ell$ : $y = -2x - 6$ и дуга окружности $(x + 2)^2 + y^2 = 4$ с концами $M(-2; -2)$ и $N(-3{,}6; 1{,}2)$ (разбор фигуры).
2. $y = a(x - 2)$ — прямые через $P(2; 0)$ без вертикальной. С $\ell$ : $(a + 2)x = 2a - 6$ — одна точка при $a \ne -2$ , ни одной при $a = -2$ .
3.Касание: $\frac{|a(-2 - 2) - 0|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2$ , откуда $16a^2 = 4a^2 + 4$ и $a = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Точки касания $(-1; \pm\sqrt{3})$ лежат на дуге: $2x + y + 6 = 4 \pm \sqrt{3} > 0$ .
4.Через $M$ : $-2 = a(-4)$ , $a = \frac{1}{2}$ . Через $N$ : $1{,}2 = a \cdot (-5{,}6)$ , $a = -\frac{3}{14}$ .
5.При $-\frac{3}{14} < a < \frac{1}{2}$ прямая проходит между $N$ и $M$ : одна её точка на дуге, вторая отрезана, плюс точка на $\ell$ — два решения. При $a = \frac{1}{2}$ и $a = -\frac{3}{14}$ — конец дуги (он же точка на $\ell$ ) и ещё одна точка дуги: два решения.
6.При $\frac{1}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $-\frac{\sqrt{3}}{3} < a < -\frac{3}{14}$ обе точки окружности на дуге: три решения. При $a = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ касание: два. При $|a| > \frac{\sqrt{3}}{3}$ общих точек с окружностью нет: одно решение, а при $a = -2$ — ни одного.

Ответ: $\{-\frac{\sqrt{3}}{3}\} \cup [-\frac{3}{14}; \frac{1}{2}] \cup \{\frac{\sqrt{3}}{3}\}$

Касательная в известной точке окружности

Если прямая проходит через точку $M$ окружности, она касается окружности ровно тогда, когда перпендикулярна радиусу $CM$ (касательная и радиус). Прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ перпендикулярны ровно тогда, когда $k_1k_2 = -1$ . Поэтому касательная в точке $M$ имеет угловой коэффициент $-\frac{1}{k}$ , где $k$ — угловой коэффициент прямой $CM$ .

Так находят касание без дискриминанта и без расстояния. Частый случай: окружность проходит через начало координат $O$ , а прямые $y = ax$ или $y = -ax$ проходят через $O$ . Если $CM$ вертикальна, касательная горизонтальна, и наоборот.

Пример

При каком значении $a$ прямая $y = ax$ касается окружности $x^2 + y^2 = 6x + 2y$ ?

Окружность

(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10

и касательная

y = -3x

в точке

O

. Пунктир — радиус

CO

1. $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10$ : центр $C(3; 1)$ . Координаты $O(0; 0)$ удовлетворяют уравнению, значит, $O$ лежит на окружности.
2.Прямая $y = ax$ проходит через $O$ . Она касается окружности, только если касается в точке $O$ , то есть перпендикулярна радиусу $CO$ .
3.Угловой коэффициент прямой $CO$ : $\frac{1 - 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}$ . Условие перпендикулярности: $a \cdot \frac{1}{3} = -1$ , $a = -3$ .
4.Проверка: $y = -3x$ даёт $x^2 + 9x^2 = 6x - 6x$ , то есть $10x^2 = 0$ — одна общая точка $O$ .

Ответ: $a = -3$

Две прямые и окружность: общую точку считают один раз

Уравнения $(x + ay - 4)(x + ay - 4a) = 0$ и $y^2 = a^2x^2$ задают пару прямых. Решения системы — точки окружности на любой из них. Если прямые пересекаются на окружности, эта точка — одно решение. Если при каком-то $a$ прямые совпадают, точек вдвое меньше. Если движется окружность, а прямые стоят, условия те же: расстояние от центра до каждой прямой меньше радиуса, и окружность не проходит через общую точку прямых.

Корень и логарифм оставляют от прямых части: $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ равносильно $A = B \ge 0$ , а $\log_c A = \log_c B$ — $A = B > 0$ . В первом случае граница входит, во втором — нет.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} \sqrt{36 - y^2} = \sqrt{36 - a^2x^2}, \\ x^2 + y^2 = 2x + 6y \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Окружность

(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 10

проходит через

O

. Прямая

y = -\frac{x}{3}

касается её в

O

. Прямые

y = \pm 3x

— граница: точка

(2; 6)

ещё лежит в полосе

|y| \le 6

1. $\sqrt{36 - y^2} = \sqrt{36 - a^2x^2}$ равносильно $y^2 = a^2x^2$ и $|y| \le 6$ : прямые $y = ax$ и $y = -ax$ в полосе $-6 \le y \le 6$ .
2. $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 10$ — окружность через $O(0; 0)$ . $O$ — решение при любом $a$ .
3.Прямая $y = kx$ пересекает окружность в $O$ и в точке $x = \frac{2 + 6k}{1 + k^2}$ , $y = \frac{2k + 6k^2}{1 + k^2}$ . При $k = -\frac{1}{3}$ вторая точка совпадает с $O$ : прямая касается окружности в точке $O$ , она перпендикулярна радиусу с угловым коэффициентом 3.
4.Полоса отрезает вторую точку, если $|y| > 6$ : $2k + 6k^2 > 6 + 6k^2$ , то есть $k > 3$ . Условие $y < -6$ не выполняется ни при каком $k$ : $12k^2 + 2k + 6 > 0$ .
5. $a = 0$ : обе прямые — $y = 0$ , решения $O$ и $(2; 0)$ . $a = \pm\frac{1}{3}$ : одна прямая касается в $O$ , у другой вторая точка $y = 1{,}2$ в полосе — два решения.
6. $|a| > 3$ : из наклонов $a$ и $-a$ один больше 3, его точка отрезана, а у другого точка в полосе — два решения. При $|a| = 3$ точка $(2; 6)$ в полосе: три решения. При остальных $a \ne 0$ три решения: $O$ и две разные вторые точки.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup \{-\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}\} \cup (3; +\infty)$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать