Репет
Задание 8
тема 10 из 10

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени заменяют квадрат синуса или косинуса первой степенью косинуса двойного угла. Их получают из формул косинуса двойного угла. В задании 8 после замены числа без косинуса взаимно уничтожаются, и остаётся косинус табличного угла.

Основа для задания14Реже в задании8На карте навыков

Квадрат через косинус двойного угла

Для любого угла α\alpha:

  • cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}.
  • sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}.
  • Слева квадрат, справа первая степень, а угол вдвое больше.

Квадрат по косинусу двойного угла

Квадрат косинуса и квадрат синуса заменяют косинусом двойного угла: cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} и sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}. Обе формулы — это косинус двойного угла, решённый относительно квадрата. Из cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 следует 2cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha, из cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha следует 2sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha.

Поэтому для cos⁡2α\cos^2\alpha в числителе плюс, для sin⁡2α\sin^2\alpha — минус. Если известен cos⁡2α\cos 2\alpha, формула сразу даёт квадрат.

Пример

Найдите sin⁡2α\sin^2\alpha, если cos⁡2α=0,4\cos 2\alpha = 0{,}4.

  1. 1.sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}.
  2. 2.1−0,42=0,3\frac{1 - 0{,}4}{2} = 0{,}3.

Ответ: 0,30{,}3

Квадрат косинуса в выражении

В задании 8 стоит выражение 2acos⁡2x−a2a\cos^2 x - a. Замените квадрат по формуле: двойка в знаменателе сократится с множителем 2a2a, а числа aa и −a-a в сумме дадут ноль. Останется acos⁡2xa\cos 2x, и угол в нём двойной.

Пример

Найдите 23cos⁡213π12−32\sqrt{3}\cos^2\frac{13\pi}{12} - \sqrt{3}.

  1. 1.23⋅1+cos⁡13π62−3=3+3cos⁡13π6−3=3cos⁡13π62\sqrt{3}\cdot\frac{1 + \cos\frac{13\pi}{6}}{2} - \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3}\cos\frac{13\pi}{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\cos\frac{13\pi}{6}.
  2. 2.Полный оборот отбросьте: cos⁡13π6=cos⁡π6=32\cos\frac{13\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  3. 3.3⋅32=1,5\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1{,}5.

Ответ: 1,51{,}5

Квадрат синуса: минус перед дробью

В выражении a−2asin⁡2xa - 2a\sin^2 x перед дробью стоит минус. Он меняет оба знака в числителе: −2a⋅1−cos⁡2x2=−a+acos⁡2x-2a\cdot\frac{1 - \cos 2x}{2} = -a + a\cos 2x. Остаётся acos⁡2xa\cos 2x.

Пример

Найдите 42−82sin⁡27π84\sqrt{2} - 8\sqrt{2}\sin^2\frac{7\pi}{8}.

  1. 1.82sin⁡27π8=82⋅1−cos⁡7π42=42−42cos⁡7π48\sqrt{2}\sin^2\frac{7\pi}{8} = 8\sqrt{2}\cdot\frac{1 - \cos\frac{7\pi}{4}}{2} = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}.
  2. 2.42−42+42cos⁡7π4=42cos⁡7π44\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4} = 4\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}.
  3. 3.cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=22\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, 42⋅22=44\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 4.

Ответ: 44

Тот же ответ через двойной угол

Короче путь без дроби: вынесите множитель aa и сверните скобку по формуле двойного угла.

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать