тема 7 из 10

Основное тригонометрическое тождество

Для любого угла $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ . По этому тождеству находят синус по косинусу и косинус по синусу, а потом тангенс. Тождество даёт только квадрат, а знак берут по четверти, в которой лежит угол.

Основа для задания14Часто в заданиях8 17На карте навыков

Основное тождество и четверти
—В аналитике

Сумма квадратов синуса и косинуса

Для любого угла $\alpha$ : $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ . Точка $P_\alpha(\cos\alpha; \sin\alpha)$ лежит на единичной окружности, поэтому $x^2 + y^2 = 1$ .

Найдите квадрат второй функции: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ или $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ .
Извлеките корень: получится модуль функции.
Найдите четверть угла и возьмите знак из таблицы знаков.
Тангенс найдите делением: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .

Тождество и знаки на окружности

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)

: II четверть.

\sin\alpha > 0,\quad \cos\alpha < 0,\quad \operatorname{tg}\alpha < 0

\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Знак «−»: во II четверти абсцисса отрицательна.

Катеты треугольника равны

|\cos\alpha|

|\sin\alpha|

, гипотенуза — радиус 1. Поэтому

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

в любом положении точки. Знак косинуса — знак абсциссы, знак синуса — знак ординаты.

Знаки по четвертям

Четверть	Угол	sin	cos	tg и ctg
I	$\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ , или $(0^\circ; 90^\circ)$	$+$	$+$	$+$
II	$\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ , или $(90^\circ; 180^\circ)$	$+$	$-$	$-$
III	$\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ , или $(180^\circ; 270^\circ)$	$-$	$-$	$+$
IV	$\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ , или $(270^\circ; 360^\circ)$	$-$	$+$	$-$

Знак по четверти

Синус — ордината: он положителен в верхней половине, в I и II четвертях. Косинус — абсцисса: он положителен в правой половине, в I и IV четвертях. Тангенс и котангенс положительны, когда знаки синуса и косинуса совпадают, в I и III четвертях.

Промежуток $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ — III четверть, $\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ — IV. Отрезок $[0; \pi]$ — это I и II четверти вместе с концами: на нём $\sin\alpha \ge 0$ .

Пример

Какой знак у $\operatorname{tg}\alpha$ , если $\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ ?

1.Промежуток $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ — III четверть.
2.Там $\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha < 0$ : знаки совпадают, поэтому $\operatorname{tg}\alpha > 0$ .

Ответ: $\operatorname{tg}\alpha > 0$

Синус по косинусу и косинус по синусу

Из тождества следует $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ : из единицы вычитают квадрат известной функции. При $\sin\alpha = 0{,}6$ получается $\cos^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$ .

Корень даёт модуль. Знак ответа берут по четверти из таблицы знаков.

Пример

Найдите $\cos\alpha$ , если $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{19}}{10}$ и $\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ .

1. $\cos^2\alpha = 1 - \frac{19}{100} = \frac{81}{100}$ , поэтому $|\cos\alpha| = 0{,}9$ .
2.Угол в III четверти, там $\cos\alpha < 0$ .
3. $\cos\alpha = -0{,}9$ .

Ответ: $-0{,}9$

Квадрат дроби с корнем

Возведите в квадрат и множитель, и корень (квадрат произведения): $\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25}$ .

Пример

Найдите $\sin\alpha$ , если $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ .

1. $\cos^2\alpha = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25}$ .
2. $\sin^2\alpha = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$ , поэтому $|\sin\alpha| = 0{,}2$ .
3.В I четверти $\sin\alpha > 0$ : $\sin\alpha = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$

Тангенс по синусу или косинусу

Найдите вторую функцию по тождеству и разделите: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ . Котангенс — перевёрнутый тангенс: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha}$ .

Пример

Найдите $\operatorname{tg}\alpha$ , если $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ .

1. $\cos^2\alpha = \frac{26}{676} = \frac{1}{26}$ , $\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{26} = \frac{25}{26}$ .
2.Во II четверти синус положителен: $\sin\alpha = \frac{5}{\sqrt{26}}$ . Косинус равен $-\frac{1}{\sqrt{26}}$ .
3. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{\sqrt{26}} : \left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right) = -5$ .

Ответ: $-5$

Тангенс без синуса

Разделите тождество на $\cos^2\alpha$ : $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ . Разделите его на $\sin^2\alpha$ : $1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ . Знак тангенса берут по четверти.

Пример

Найдите $\operatorname{tg}\alpha$ , если $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{13}}{13}$ и $\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ .

1. $\cos^2\alpha = \frac{4 \cdot 13}{169} = \frac{4}{13}$ .
2. $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{13}{4}$ , поэтому $\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{9}{4}$ .
3.В III четверти тангенс положителен: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{2} = 1{,}5$ .

Ответ: $1{,}5$

Тождество внутри выражения

Если в выражении есть сумма $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ одного и того же угла, замените её на 1. Часто такую пару даёт формула приведения: $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$ .

Пример

Найдите значение выражения $\frac{38}{\sin^2 51^\circ + 3 + \sin^2 141^\circ}$ .

1. $141^\circ = 90^\circ + 51^\circ$ , поэтому $\sin 141^\circ = \cos 51^\circ$ .
2. $\sin^2 51^\circ + \sin^2 141^\circ = \sin^2 51^\circ + \cos^2 51^\circ = 1$ .
3. $\frac{38}{1 + 3} = 9{,}5$ .

Ответ: $9{,}5$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать