Репет
Задание 8
тема 9 из 10

Формулы двойного угла

Синус и косинус двойного угла выражают через синус и косинус самого угла. У косинуса двойного угла три формы. В задании 8 формулу обычно сворачивают: правую часть заменяют левой, и угол удваивается до табличного.

Основа для задания14Часто в задании8На карте навыков

Синус и косинус двойного угла

Для любого угла α\alpha:

  • sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.
  • cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1.
  • Формулы верны в обе стороны. Свернуть — значит заменить правую часть левой.
  • Сначала удвойте угол, потом приводите его к табличному.

Как узнать формулу в выражении

В выраженииВынесите множительСвернули
sin⁡x⋅cos⁡x\sin x\cdot\cos x одного углаasin⁡xcos⁡x=a2⋅2sin⁡xcos⁡xa\sin x\cos x = \frac{a}{2}\cdot 2\sin x\cos xa2sin⁡2x\frac{a}{2}\sin 2x
acos⁡2x−asin⁡2xa\cos^2 x - a\sin^2 xa(cos⁡2x−sin⁡2x)a(\cos^2 x - \sin^2 x)acos⁡2xa\cos 2x
a−2asin⁡2xa - 2a\sin^2 xa(1−2sin⁡2x)a(1 - 2\sin^2 x)acos⁡2xa\cos 2x
2acos⁡2x−a2a\cos^2 x - aa(2cos⁡2x−1)a(2\cos^2 x - 1)acos⁡2xa\cos 2x

Произведение синуса и косинуса одного угла

Произведение синуса и косинуса одного угла — половина синуса двойного угла: sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x. Если перед произведением нет множителя 2, умножьте и разделите на 2.

Знак и значение синуса удвоенного угла находят по формулам приведения и таблице. Знак задаёт четверть угла 2x2x, а не угла xx.

Пример

Найдите 3sin⁡13π12⋅cos⁡13π123\sin\frac{13\pi}{12}\cdot\cos\frac{13\pi}{12}.

  1. 1.3sin⁡13π12cos⁡13π12=32⋅2sin⁡13π12cos⁡13π12=32sin⁡13π63\sin\frac{13\pi}{12}\cos\frac{13\pi}{12} = \frac{3}{2}\cdot 2\sin\frac{13\pi}{12}\cos\frac{13\pi}{12} = \frac{3}{2}\sin\frac{13\pi}{6}.
  2. 2.13π6=2π+π6\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}: полный оборот отбросьте, sin⁡13π6=sin⁡π6=12\sin\frac{13\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.
  3. 3.32⋅12=34=0,75\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} = 0{,}75 (запись ответа).

Ответ: 0,750{,}75

Двойной угол в знаменателе

Если угол в знаменателе вдвое больше угла в числителе, сверните числитель: 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha. Значения синусов тогда не нужны: одинаковые синусы сокращаются.

Пример

Найдите 8sin⁡64∘⋅cos⁡64∘sin⁡128∘\frac{8\sin 64^\circ\cdot\cos 64^\circ}{\sin 128^\circ}.

  1. 1.8sin⁡64∘cos⁡64∘=4⋅2sin⁡64∘cos⁡64∘=4sin⁡128∘8\sin 64^\circ\cos 64^\circ = 4\cdot 2\sin 64^\circ\cos 64^\circ = 4\sin 128^\circ.
  2. 2.4sin⁡128∘sin⁡128∘=4\frac{4\sin 128^\circ}{\sin 128^\circ} = 4.

Ответ: 44

Двойной угол в числителе

Если двойной угол в числителе, а в знаменателе произведение, разверните числитель. Лишний множитель знаменателя замените по формуле дополнительного угла: cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha.

Пример

Найдите 3sin⁡68∘cos⁡34∘⋅cos⁡56∘\frac{3\sin 68^\circ}{\cos 34^\circ\cdot\cos 56^\circ}.

  1. 1.sin⁡68∘=2sin⁡34∘cos⁡34∘\sin 68^\circ = 2\sin 34^\circ\cos 34^\circ.
  2. 2.cos⁡56∘=cos⁡(90∘−34∘)=sin⁡34∘\cos 56^\circ = \cos(90^\circ - 34^\circ) = \sin 34^\circ.
  3. 3.3⋅2sin⁡34∘cos⁡34∘cos⁡34∘⋅sin⁡34∘=6\frac{3\cdot 2\sin 34^\circ\cos 34^\circ}{\cos 34^\circ\cdot\sin 34^\circ} = 6.

Ответ: 66

Косинус двойного угла: какую форму взять

Основная форма: cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha. Две другие формы, 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha и 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1, следуют из основного тригонометрического тождества: в cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2\alpha замените cos⁡2α\cos^2\alpha на 1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha или sin⁡2α\sin^2\alpha на 1−cos⁡2α1 - \cos^2\alpha.

Выберите форму по тому, что дано. Дан sin⁡α\sin\alpha — берите 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha. Дан cos⁡α\cos\alpha — берите 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1. Тогда второе значение искать не нужно, а знак и четверть угла не важны: значение стоит в квадрате.

Пример

Найдите 6cos⁡2α6\cos 2\alpha, если sin⁡α=−0,8\sin\alpha = -0{,}8.

  1. 1.Дан синус: cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha.
  2. 2.cos⁡2α=1−2⋅(−0,8)2=1−2⋅0,64=−0,28\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot(-0{,}8)^2 = 1 - 2\cdot 0{,}64 = -0{,}28.
  3. 3.6⋅(−0,28)=−1,686\cdot(-0{,}28) = -1{,}68.

Ответ: −1,68-1{,}68

Разность квадратов косинуса и синуса

cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x. Порядок квадратов важен: sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x.

Пример

Найдите 52cos⁡27π8−52sin⁡27π85\sqrt{2}\cos^2\frac{7\pi}{8} - 5\sqrt{2}\sin^2\frac{7\pi}{8}.

  1. 1.52(cos⁡27π8−sin⁡27π8)=52cos⁡7π45\sqrt{2}\left(\cos^2\frac{7\pi}{8} - \sin^2\frac{7\pi}{8}\right) = 5\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}.
  2. 2.cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=22\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
  3. 3.52⋅22=55\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5.

Ответ: 55

Единица минус удвоенный квадрат

1−2sin⁡2x=cos⁡2x1 - 2\sin^2 x = \cos 2x и 2cos⁡2x−1=cos⁡2x2\cos^2 x - 1 = \cos 2x. Сначала вынесите общий множитель, чтобы в скобках осталась ровно эта форма.

Пример

Найдите 23−43sin⁡27π122\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\sin^2\frac{7\pi}{12}.

  1. 1.23(1−2sin⁡27π12)=23cos⁡7π62\sqrt{3}\left(1 - 2\sin^2\frac{7\pi}{12}\right) = 2\sqrt{3}\cos\frac{7\pi}{6}.
  2. 2.7π6=π+π6\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} — III четверть, косинус там отрицателен: cos⁡7π6=−32\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
  3. 3.23⋅(−32)=−32\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3.

Ответ: −3-3

Общий множитель в корнях

Иногда общий множитель скрыт в корнях: 108=227\sqrt{108} = 2\sqrt{27}. Вынесите множитель из-под корня, потом ищите формулу. Корни в ответе перемножайте под одним знаком (свойства корней).

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите значение выражения 108cos⁡2π12−27.\sqrt{108} \cos ^{2} \frac{\pi}{12} - \sqrt{27} .

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать