Репет
Задание 8
тема 8 из 10

Формулы приведения

Формулы приведения записывают функцию угла π2±α\frac{\pi}{2} \pm \alpha, π±α\pi \pm \alpha, 3π2±α\frac{3\pi}{2} \pm \alpha, 2π−α2\pi - \alpha через функцию угла α\alpha. Таблицу формул не учат: задают два вопроса — меняется ли название функции и какой знак поставить. Перед этим отбрасывают полные обороты и выносят минус перед углом.

Основа для задания14Часто в задании8На карте навыков

Формула приведения за два вопроса

Запишите угол как π2\frac{\pi}{2}, π\pi, 3π2\frac{3\pi}{2} или 2π2\pi плюс или минус α\alpha. Считайте угол α\alpha острым и ответьте на два вопроса.

  • Меняется ли название? При π\pi и 2π2\pi название остаётся. При π2\frac{\pi}{2} и 3π2\frac{3\pi}{2} синус меняется на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот.
  • Какой знак? Найдите четверть всего угла и поставьте знак исходной функции в этой четверти (знаки по четвертям).
  • В градусах то же: 90∘90^\circ, 180∘180^\circ, 270∘270^\circ, 360∘360^\circ.

Название меняет только вертикальная ось

Углы π\pi и 2π2\pi лежат на горизонтальной оси: название функции остаётся. Углы π2\frac{\pi}{2} и 3π2\frac{3\pi}{2} лежат на вертикальной оси: название меняется. Поэтому sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha, а при π2\frac{\pi}{2} синус становится косинусом.

Пример

Упростите cos⁡(π2+α)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right).

  1. 1.Угол π2\frac{\pi}{2} на вертикальной оси: косинус меняется на синус.
  2. 2.При остром α\alpha угол π2+α\frac{\pi}{2} + \alpha лежит во II четверти, косинус там отрицателен.

Ответ: −sin⁡α-\sin\alpha

Знак — у исходной функции

Считайте α\alpha острым и найдите четверть всего угла. Поставьте знак, который в этой четверти имеет функция из задания, а не функция из ответа. Формулы верны для любого α\alpha: острым его считают только для того, чтобы найти четверть.

Пример

Упростите sin⁡(3π2+α)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right).

  1. 1.Угол 3π2\frac{3\pi}{2} на вертикальной оси: синус меняется на косинус.
  2. 2.Угол 3π2+α\frac{3\pi}{2} + \alpha лежит в IV четверти. Исходная функция — синус, в IV четверти он отрицателен.

Ответ: −cos⁡α-\cos\alpha

Формула приведения на окружности

sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha
xy1−11−10π/2π3π/2α
Угол π2\frac{\pi}{2} лежит на вертикальной оси: синус меняется на косинус.
При α=30∘\alpha = 30^\circ угол π2+α=120∘\frac{\pi}{2} + \alpha = 120^\circ лежит во II четверти. Там синус положителен: знак «+».
sin⁡120∘=cos⁡30∘=32\sin 120^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
Синяя точка — угол α\alpha, оранжевая — угол из формулы. Для синуса и косинуса выделенные отрезки равны по длине, это и есть формула. Для тангенса и котангенса отрезков нет: их формулы следуют из формул для синуса и косинуса. Двигайте точку α\alpha, выбирайте функцию и угол.

Все формулы приведения

СинусКосинусТангенсКотангенс
sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alphacos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alphatg⁡(π2−α)=ctg⁡α\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alphactg⁡(π2−α)=tg⁡α\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha
sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alphacos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alphatg⁡(π2+α)=−ctg⁡α\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alphactg⁡(π2+α)=−tg⁡α\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha
sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin\left(\pi - \alpha\right) = \sin\alphacos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos\left(\pi - \alpha\right) = -\cos\alphatg⁡(π−α)=−tg⁡α\operatorname{tg}\left(\pi - \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alphactg⁡(π−α)=−ctg⁡α\operatorname{ctg}\left(\pi - \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alpha
sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin\left(\pi + \alpha\right) = -\sin\alphacos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos\left(\pi + \alpha\right) = -\cos\alphatg⁡(π+α)=tg⁡α\operatorname{tg}\left(\pi + \alpha\right) = \operatorname{tg}\alphactg⁡(π+α)=ctg⁡α\operatorname{ctg}\left(\pi + \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha
sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alphacos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alphatg⁡(3π2−α)=ctg⁡α\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alphactg⁡(3π2−α)=tg⁡α\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha
sin⁡(3π2+α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alphacos⁡(3π2+α)=sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alphatg⁡(3π2+α)=−ctg⁡α\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alphactg⁡(3π2+α)=−tg⁡α\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha
sin⁡(2π−α)=−sin⁡α\sin\left(2\pi - \alpha\right) = -\sin\alphacos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos\left(2\pi - \alpha\right) = \cos\alphatg⁡(2π−α)=−tg⁡α\operatorname{tg}\left(2\pi - \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alphactg⁡(2π−α)=−ctg⁡α\operatorname{ctg}\left(2\pi - \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alpha

Угол больше прямого

Запишите угол через 180∘180^\circ или 360∘360^\circ и острый угол из таблицы. Потом примените два вопроса.

Пример

Найдите cos⁡120∘\cos 120^\circ.

  1. 1.cos⁡120∘=cos⁡(180∘−60∘)\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ): угол 180∘180^\circ, название остаётся.
  2. 2.Угол 120∘120^\circ лежит во II четверти, косинус там отрицателен.
  3. 3.cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.

Ответ: −0,5-0{,}5

Полные обороты отбрасывают

Синус и косинус повторяются через 360∘=2π360^\circ = 2\pi, тангенс и котангенс — через 180∘=π180^\circ = \pi. Целое число оборотов отбросьте.

В радианах выделите из дроби чётное число π\pi: 13π6=2π+π6\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}. Можно вычесть и лишнее: 23π4=6π−π4\frac{23\pi}{4} = 6\pi - \frac{\pi}{4}. У тангенса и котангенса отбрасывают любое целое число π\pi: ctg⁡(α+7π2)=ctg⁡(α+π2)\operatorname{ctg}\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right).

Пример

Найдите −6sin⁡374∘sin⁡14∘-\frac{6\sin 374^\circ}{\sin 14^\circ}.

  1. 1.sin⁡374∘=sin⁡(360∘+14∘)=sin⁡14∘\sin 374^\circ = \sin(360^\circ + 14^\circ) = \sin 14^\circ.
  2. 2.−6sin⁡14∘sin⁡14∘=−6-\frac{6\sin 14^\circ}{\sin 14^\circ} = -6.

Ответ: −6-6

Полный оборот не меняет точку

150∘=5π6150^\circ = \frac{5\pi}{6}
xy1−11−10π/2π3π/2cossinα
sin⁡150∘=y=12\sin 150^\circ = y = \frac{1}{2}
cos⁡150∘=x=−32\cos 150^\circ = x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
tg⁡150∘=−33,ctg⁡150∘=−3\operatorname{tg} 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3},\quad \operatorname{ctg} 150^\circ = -\sqrt{3}
Точка лежит во II четверти: x<0x < 0, y>0y > 0.
Слагаемое 360∘⋅k360^\circ \cdot k поворачивает точку на kk полных оборотов, и она возвращается на место. Поэтому синус и косинус не меняются. Двигайте kk и точку.

Отрицательный угол

Точки α\alpha и −α-\alpha симметричны относительно оси xx: абсцисса та же, ордината меняет знак. Поэтому косинус чётный: cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha, и минус из-под косинуса просто пропадает. Синус, тангенс и котангенс нечётные: sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, tg⁡(−α)=−tg⁡α\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha, ctg⁡(−α)=−ctg⁡α\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha.

Разность в скобках можно перевернуть: cos⁡(x−π2)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x, потому что x−π2=−(π2−x)x - \frac{\pi}{2} = -\left(\frac{\pi}{2} - x\right).

Пример

Найдите 43sin⁡(−120∘)4\sqrt{3}\sin(-120^\circ).

  1. 1.Синус нечётный: sin⁡(−120∘)=−sin⁡120∘\sin(-120^\circ) = -\sin 120^\circ.
  2. 2.sin⁡120∘=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡60∘=32\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  3. 3.−43⋅32=−6-4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -6.

Ответ: −6-6

Дополнительные углы

Углы α\alpha и 90∘−α90^\circ - \alpha в сумме дают 90∘90^\circ. По формуле для π2−α\frac{\pi}{2} - \alpha: sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha, tg⁡(90∘−α)=ctg⁡α\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha.

Нетабличный угол в задании 8 — подсказка: ищите пару углов с суммой 90∘90^\circ или 180∘180^\circ. Дробь вроде 3sin⁡68∘cos⁡34∘⋅cos⁡56∘\frac{3\sin 68^\circ}{\cos 34^\circ \cdot \cos 56^\circ} решают вместе с формулой двойного угла.

Пример

Найдите 30tg⁡3∘⋅tg⁡87∘−4330\operatorname{tg} 3^\circ \cdot \operatorname{tg} 87^\circ - 43.

  1. 1.tg⁡87∘=tg⁡(90∘−3∘)=ctg⁡3∘\operatorname{tg} 87^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ - 3^\circ) = \operatorname{ctg} 3^\circ.
  2. 2.tg⁡3∘⋅ctg⁡3∘=1\operatorname{tg} 3^\circ \cdot \operatorname{ctg} 3^\circ = 1.
  3. 3.30−43=−1330 - 43 = -13.

Ответ: −13-13

Разные углы приводятся к одному

Если в выражении несколько нетабличных углов, приведите каждый к одному острому углу. Квадраты синуса и косинуса одного угла дают единицу по основному тождеству. В квадрате минус пропадает.

Пример

Найдите −12sin⁡2131∘+sin⁡2221∘\frac{-12}{\sin^2 131^\circ + \sin^2 221^\circ}.

  1. 1.sin⁡131∘=sin⁡(90∘+41∘)=cos⁡41∘\sin 131^\circ = \sin(90^\circ + 41^\circ) = \cos 41^\circ.
  2. 2.sin⁡221∘=sin⁡(180∘+41∘)=−sin⁡41∘\sin 221^\circ = \sin(180^\circ + 41^\circ) = -\sin 41^\circ.
  3. 3.cos⁡241∘+sin⁡241∘=1\cos^2 41^\circ + \sin^2 41^\circ = 1, значение −121=−12\frac{-12}{1} = -12.

Ответ: −12-12

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать