тема 2 из 9

Таблица производных и правила дифференцирования

Производную функции собирают из производных её частей по таблице и правилам дифференцирования. Таблицу и правила нужно знать наизусть: на них опираются задачи о скорости, касательной и исследовании функции.

Основа для заданий9 17На карте навыков

Таблица производных
—В аналитике

Как найти производную

Разбейте функцию на простые части. Производную каждой части возьмите из таблицы, потом соедините части по правилам.

Корень и дробь с $x^k$ в знаменателе запишите как степень.
Производную каждой части возьмите из таблицы.
Соедините части по правилам дифференцирования. У произведения своя формула: его производная не равна произведению производных.

Производные элементарных функций

Функция	Производная
$c$ — число	$0$
$x^n$ , $n$ — любое число	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$ , $x > 0$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$
$a^x$ , $a > 0$	$a^x \ln a$
$\log_a x$ , $a > 0$ , $a \ne 1$ , $x > 0$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\operatorname{ctg} x$	$-\frac{1}{\sin^2 x}$

Корень и дробь — степень

Формула $(x^n)' = n x^{n-1}$ верна для любого показателя. Поэтому корень и дробь сначала запишите как степень: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ , $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ .

Пример

$f(x) = x\sqrt{x}$ . Найдите $f'(4)$ .

1. $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$ .
2. $f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ .
3. $f'(4) = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ .

Ответ: $3$

Правила дифференцирования

Правило	Пример
$(c \cdot f)' = c \cdot f'$	$(5x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$
$(f \pm g)' = f' \pm g'$	$(x^2 - 4x + 7)' = 2x - 4$
$(f \cdot g)' = f' g + f g'$	$((x - 8)e^{x - 7})' = e^{x - 7} + (x - 8)e^{x - 7} = (x - 7)e^{x - 7}$
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$	$\left(\frac{x}{x + 1}\right)' = \frac{(x + 1) - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$
$(f(kx + b))' = k \cdot f'(kx + b)$	$(e^{3x - 1})' = 3e^{3x - 1}$
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	$(\ln(x^2 + 1))' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Производная на графике

f(x) = x^2

k

1

c

0

f'(x) = \left(x^2\right)' = 2x

f'\left(1\right) = 2

: касательная поднимается на 2 за 1 клетку вправо; столбик f′ той же длины.

Выберите функцию из таблицы и двигайте точку касания. Значение

f'(x)

— наклон касательной: на сколько она поднимается за 1 клетку вправо. Множитель

k

растягивает и

f

, и

f'

, а слагаемое

c

сдвигает график

f

и не меняет

f'

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать