Задание №10 — Производительность труда

Разбор задачи:

Для решения составим таблицу, описывающую работу двух труб по наполнению резервуара объемом 110 литров. Обозначим производительность второй трубы через $U_{2}$ (л/мин), а время её работы — через $t_{2}$ (мин).

Используя взаимосвязь величин $A = U \cdot t$, составим систему уравнений на основе данных таблицы:

1) Для первой трубы: $(U_{2} - 1)(t_{2} + 1) = 110$

2) Для второй трубы: $U_{2} \cdot t_{2} = 110$

Решим полученную систему методом подстановки:
$$\begin{cases} U_{2}t_{2} + U_{2} - t_{2} - 1 = 110 \\ U_{2}t_{2} = 110 \end{cases}$$
Подставим значение $U_{2}t_{2}$ из второго уравнения в первое:
$$110 + U_{2} - t_{2} - 1 = 110 \implies t_{2} = U_{2} - 1$$
Теперь подставим выражение для $t_{2}$ во второе уравнение:
$$U_{2}(U_{2} - 1) = 110$$
Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$$(U_{2})^{2} - U_{2} - 110 = 0$$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 = 21^{2}$.
Вычислим корни уравнения:
$$U_{2} = \frac{1 + 21}{2} = 11$$
$$U_{2} = \frac{1 - 21}{2} = -10$$
Так как скорость наполнения не может быть отрицательной величиной, нам подходит только значение $U_{2} = 11$.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ