Решение:

Обозначим собственную скорость катера как $x$, а скорость течения реки в весенний период как $y$. Согласно условию, летом скорость течения снижается на 1 км/ч, то есть она становится равной $y - 1$. Составим таблицу для систематизации данных:

	Весенний период	Летний период
Собственная скорость	$x$	$x$
Скорость течения	$y$	$y - 1$
По течению	$x + y$	$x + (y - 1)$
Против течения	$x - y$	$x - (y - 1)$
Отношение скоростей	$\frac{x + y}{x - y} = 1 \frac{2}{3}$	$\frac{x + (y - 1)}{x - (y - 1)} = 1 \frac{1}{2}$

Для нахождения искомой величины $y$ (скорости течения весной) составим и решим систему линейных уравнений:
$\begin{cases} \frac{x + y}{x - y} = \frac{5}{3} \\ \frac{x + y - 1}{x - y + 1} = \frac{3}{2} \end{cases}$
Применим основное свойство пропорции («крест-накрест»):
$\begin{cases} 3(x + y) = 5(x - y) \\ 2(x + y - 1) = 3(x - y + 1) \end{cases}$
Раскроем скобки в обоих уравнениях:
$\begin{cases} 3x + 3y = 5x - 5y \\ 2x + 2y - 2 = 3x - 3y + 3 \end{cases}$
Сгруппируем слагаемые с переменными:
$\begin{cases} 8y = 2x \\ 5y - 5 = x \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 4y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$5y - 5 = 4y$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные числа — в правую:
$5y - 4y = 5$
$y = 5$.

Таким образом, весенняя скорость течения составляет 5 км/ч.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ