Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного задания воспользуемся свойствами степеней и квадратного корня. Разделим решение на логические шаги.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним правило деления степеней с одинаковым основанием: при делении показатели степеней вычитаются, то есть $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$\frac{25 a^{19}}{a^{11}} = 25 \cdot a^{19 - 11} = 25 a^8$.

Шаг 2. Извлечём квадратный корень из полученного выражения.
Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.
Тогда:
$\sqrt{25 a^8} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^8}$.
Мы знаем, что $\sqrt{25} = 5$. Чтобы извлечь корень из степени, нужно показатель степени разделить на 2: $\sqrt{a^8} = a^{8 : 2} = a^4$.
Таким образом, всё выражение упрощается до вида: $5 a^4$.

Шаг 3. Подставим значение $a = 2$ в упрощённое выражение.
Подставляем двойку вместо $a$:
$5 \cdot 2^4$.

Шаг 4. Выполним финальные вычисления.
Сначала возведём число 2 в четвёртую степень:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Теперь умножим результат на 5:
$5 \cdot 16 = 80$.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ