Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{a^{2} \cdot (-a)^{4}}$, сначала упростим его, используя свойства степеней и корней.

1. Рассмотрим выражение в скобках: $(-a)^{4}$. Так как показатель степени — чётное число (4), то минус при возведении в степень исчезает. Таким образом, $(-a)^{4} = a^{4}$.

2. Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a^{2} \cdot a^{4}}$.

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
$a^{2} \cdot a^{4} = a^{2+4} = a^{6}$.

4. Теперь наше выражение выглядит так: $\sqrt{a^{6}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{n}} = x^{n/2}$ (для положительных $a$), получаем:
$\sqrt{a^{6}} = a^{6/2} = a^{3}$.

5. Подставим значение $a = 4$ в полученное упрощённое выражение:
$a^{3} = 4^{3}$.

6. Вычислим значение:
$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Ответ: 64

Источник: ФИПИ