Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, сначала упростим его, используя свойства квадратного корня. Вспомним, что корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (при условии, что множители неотрицательны).

1) Извлечём корень из каждого множителя по отдельности:
$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot x^{8} \cdot y^{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{x^{8}} \cdot \sqrt{y^{4}}$

2) Вычислим значения каждого корня:
— $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$, так как $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$;
— $\sqrt{x^{8}} = x^{8 : 2} = x^{4}$ (при извлечении корня степень делится на 2);
— $\sqrt{y^{4}} = y^{4 : 2} = y^{2}$.

Таким образом, наше выражение приняло вид: $\frac{1}{2} \cdot x^{4} \cdot y^{2}$.

3) Теперь подставим в полученное выражение значения переменных $x = 2$ и $y = 3$:
$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} \cdot 3^{2}$

4) Выполним возведение в степень:
$2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$;
$3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$.

5) Проведём итоговые вычисления:
$\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9 = 8 \cdot 9 = 72$.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ