Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней и квадратного корня. Разберем задачу по шагам.

1. Сначала вспомним определение квадратного корня: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Это значит, что наше выражение можно переписать в виде степени:
$\sqrt{4^{5}} = (4^{5})^{\frac{1}{2}}$

2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$. Применим это правило:
$(4^{5})^{\frac{1}{2}} = 4^{5 \cdot \frac{1}{2}} = 4^{\frac{5}{2}}$

3. Теперь представим число $4$ как степень с основанием $2$, так как $4 = 2^{2}$. Подставим это в наше выражение:
$4^{\frac{5}{2}} = (2^{2})^{\frac{5}{2}}$

4. Снова воспользуемся правилом перемножения показателей степеней:
$(2^{2})^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}}$
При умножении $2 \cdot \frac{5}{2}$ двойки сокращаются, и остается просто $5$:
$2^{5}$

5. Вычислим значение $2^{5}$, перемножив двойку саму на себя пять раз:
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$

Альтернативный способ:
Можно сначала извлечь корень из основания, если это возможно.
$\sqrt{4^{5}} = (\sqrt{4})^{5}$
Так как $\sqrt{4} = 2$, получаем:
$2^{5} = 32$

Ответ: 32

Источник: ФИПИ