Задание №8

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей этих дробей: $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$.

Шаг 1. Приведение к общему знаменателю.
Домножим числитель первой дроби на $(2 - \sqrt{3})$, а числитель второй дроби на $(2 + \sqrt{3})$:
$\frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3}) + 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$

Шаг 2. Упрощение числителя.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2 + 2 = 4$
Заметим, что иррациональные слагаемые $-\sqrt{3}$ и $+\sqrt{3}$ взаимно уничтожились.

Шаг 3. Упрощение знаменателя.
В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Шаг 4. Вычисление итогового значения.
Подставим полученные значения числителя и знаменателя в дробь:
$\frac{4}{1} = 4$

Ответ: 4

Источник: ФИПИ