Задание №23 — Геометрия

#47839Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 12$ , $D C = 48$ , $A C = 35$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны ( $AB \parallel DC$ ).

2. При пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ .
Также углы при вершине $M$ ( $\angle AMB$ и $\angle CMD$ ) являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle AMB = \angle CMD$ .

3. Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам ( $\triangle AMB \sim \triangle CMD$ ).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

5. Пусть длина отрезка $MC$ равна $x$ . Так как по условию вся длина отрезка $AC = 35$ , то длина отрезка $AM$ будет равна $35 - x$ .

6. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{12}{48} = \frac{35 - x}{x}$ .

7. Сократим дробь в левой части уравнения: $\frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ .
Получаем уравнение: $\frac{1}{4} = \frac{35 - x}{x}$ .

8. Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot x = 4 \cdot (35 - x)$
$x = 140 - 4x$
$x + 4x = 140$
$5x = 140$
$x = 140 : 5$
$x = 28$ .

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна $28$ .

Ответ: 28

Источник: ФИПИ