Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). По условию, $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$. Это означает, что отрезок $BH$ перпендикулярен $AC$, а точка $H$ лежит на гипотенузе.

2. Вспомним важное свойство прямоугольного треугольника: катет является средним геометрическим между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Для катета $AB$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $AH$.

3. Запишем это свойство в виде формулы:
$AB^2 = AC \cdot AH$.

4. Подставим в формулу известные значения из условия задачи ($AH = 7$, $AC = 28$):
$AB^2 = 28 \cdot 7$.

5. Выполним вычисления. Чтобы было проще извлечь корень, разложим число $28$ на множители:
$28 = 4 \cdot 7$.
Тогда выражение примет вид:
$AB^2 = 4 \cdot 7 \cdot 7 = 4 \cdot 49$.

6. Найдём длину отрезка $AB$, извлекая квадратный корень из полученного произведения:
$AB = \sqrt{4 \cdot 49} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{49} = 2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ