Задание №24 — Геометрия

#47882Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$ , лежащей на стороне $A D$ . Докажите, что точка $O$ равноудалена
от прямых $A B$ , $B C$ и $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

1) Рассмотрим угол $B$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$ . Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $BC$ .
Обозначим это расстояние как $h_1$ . Таким образом, $d(O, AB) = d(O, BC) = h_1$ .

2) Теперь рассмотрим угол $C$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $O$ также лежит на биссектрисе угла $C$ . Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $BC$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $CD$ .
Обозначим это расстояние как $h_2$ . Таким образом, $d(O, BC) = d(O, CD) = h_2$ .

3) Из первого и второго пунктов мы видим, что расстояние от точки $O$ до прямой $BC$ в обоих случаях одно и то же (это перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $BC$ ). Значит, $h_1 = h_2$ .

4) Объединяя полученные равенства, получаем:
$d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD)$ .
Это означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ , $BC$ и $CD$ , то есть она равноудалена от них.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ