Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий
- Задание №24№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
- Задание №24№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.
Решение
Решение.
1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. По свойству параллелограмма его диагонали AC и BD точкой пересечения O делятся пополам. Следовательно, AO=OC.
2. Рассмотрим треугольники AOE и COF:
— Сторона AO равна стороне OC (так как O — середина диагонали AC).
— Угол AOE равен углу COF как вертикальные углы (образованы при пересечении прямых AC и EF).
— Угол EAO равен углу FCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD (противоположные стороны параллелограмма параллельны) и секущей AC.
3. Таким образом, треугольники AOE и COF равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
4. Из равенства треугольников AOE и COF следует равенство их соответствующих сторон. Значит, AE=CF.
Что и требовалось доказать.
Ответ: доказано.
Источник: ФИПИ