Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $A E$ и $C F$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма его диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$ .

2. Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF$ :
— Сторона $AO$ равна стороне $OC$ (так как $O$ — середина диагонали $AC$ ).
— Угол $AOE$ равен углу $COF$ как вертикальные углы (образованы при пересечении прямых $AC$ и $EF$ ).
— Угол $EAO$ равен углу $FCO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ (противоположные стороны параллелограмма параллельны) и секущей $AC$ .

3. Таким образом, треугольники $AOE$ и $COF$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников $AOE$ и $COF$ следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $AE = CF$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ