Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий
- Задание №24№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
- Задание №24№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.
Решение
Решение.
1. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. По условию задачи углы DAC и DBC равны. Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок DC, а их вершины A и B лежат по одну сторону от прямой DC.
2. В геометрии существует важный признак: если отрезок DC виден из двух точек A и B, лежащих по одну сторону от него, под равными углами (∠DAC=∠DBC), то точки A,B,C,D лежат на одной окружности.
3. Таким образом, четырёхугольник ABCD является вписанным в окружность.
4. Вспомним свойство вписанных углов: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
5. Рассмотрим углы CDB и CAB. Оба этих угла являются вписанными в нашу окружность и опираются на одну и ту же дугу CB.
6. Следовательно, по свойству вписанных углов, ∠CDB=∠CAB, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Источник: ФИПИ