Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию задачи углы $DAC$ и $DBC$ равны. Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок $DC$, а их вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $DC$.

2. В геометрии существует важный признак: если отрезок $DC$ виден из двух точек $A$ и $B$, лежащих по одну сторону от него, под равными углами ($\angle DAC = \angle DBC$), то точки $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

3. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.

4. Вспомним свойство вписанных углов: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

5. Рассмотрим углы $CDB$ и $CAB$. Оба этих угла являются вписанными в нашу окружность и опираются на одну и ту же дугу $CB$.

6. Следовательно, по свойству вписанных углов, $\angle CDB = \angle CAB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ