Задание №24 — Геометрия

#48074Задание №24ФИПИ

Треугольник

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 7 и 28, $B D = 14$ . Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$ , рассмотрим их элементы (стороны и углы).

1. Рассмотрим углы при параллельных прямых. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$ . Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CBD = \angle BDA$ .

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим равным углам.
В треугольнике $CBD$ стороны, образующие угол $CBD$ , равны: $BC = 7$ и $BD = 14$ .
В треугольнике $BDA$ стороны, образующие угол $BDA$ , равны: $BD = 14$ и $AD = 28$ .

3. Найдем отношения соответствующих сторон:
Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ .
Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$ .

4. Мы видим, что $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$ . Это означает, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.

5. Таким образом, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники CBD и BDA подобны по второму признаку подобия.

Источник: ФИПИ