Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. По условию задачи $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$. Это значит, что:
$\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$,
$\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3. Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма его углов $\angle FAB$ и $\angle FBA$ равна:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)$.
Подставим значение суммы углов из первого шага:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4. Так как сумма двух углов треугольника $ABF$ равна $90^\circ$, то третий угол $\angle AFB$ вычисляется как:
$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5. В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой, а $AF$ и $BF$ — катетами. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.
Подставим известные значения:
$AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
$AB = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ