Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 18$ и $AD = 36$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, при этом точка $E$ лежит на стороне $AB$, а точка $F$ — на стороне $CD$. По условию $CF : DF = 7 : 2$. Обозначим $CF = 7x$, тогда $DF = 2x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 7x + 2x = 9x$.

2) Проведём дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $EF$ в точке $K$, а основание $AD$ — в точке $M$.

3) Рассмотрим четырёхугольники $EBCK$ и $ABCM$. Так как $BC \parallel EK \parallel AM$ и $AB \parallel CK \parallel CM$ (по построению), то $EBCK$ и $ABCM$ — параллелограммы. По свойствам параллелограмма противоположные стороны равны: $BC = EK = AM = 18$.

4) Найдём отрезок $MD$: $MD = AD - AM = 36 - 18 = 18$.

5) Рассмотрим треугольник $MCD$. Отрезок $KF$ параллелен стороне $MD$ (так как $EF \parallel AD$). Значит, треугольник $KCF$ подобен треугольнику $MCD$ по двум углам (угол $C$ — общий, $\angle CKF = \angle CMD$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{MD} = \frac{CF}{CD}$.
Подставим известные значения: $\frac{KF}{18} = \frac{7x}{9x}$.
Сократим на $x$ и выразим $KF$: $\frac{KF}{18} = \frac{7}{9}$,
$KF = \frac{18 \cdot 7}{9} = 2 \cdot 7 = 14$.

7) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$: $EF = EK + KF = 18 + 14 = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ