Задание №24 — Геометрия

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$, рассмотрим их элементы (стороны и углы).

1. Рассмотрим углы при параллельных прямых. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$. Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CBD = \angle BDA$.

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, которые образуют эти равные углы в треугольниках $CBD$ и $BDA$.

В треугольнике $CBD$ возьмём стороны $BC$ и $BD$:
$BC = 4,5$
$BD = 9$

В треугольнике $BDA$ возьмём соответствующие им стороны $BD$ и $AD$:
$BD = 9$
$AD = 18$

3. Вычислим отношения этих сторон:
$\frac{BC}{BD} = \frac{4,5}{9} = \frac{1}{2} = 0,5$
$\frac{BD}{AD} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} = 0,5$

Мы видим, что отношения сторон равны: $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$. Это означает, что стороны пропорциональны.

4. Таким образом, у треугольников $CBD$ и $BDA$:
— угол $CBD$ равен углу $BDA$;
— стороны, образующие эти углы, пропорциональны ($\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$).

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Источник: ФИПИ