Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) Так как $AF$ — биссектриса угла $A$, то $\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$. Аналогично, так как $BF$ — биссектриса угла $B$, то $\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3) Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Найдём сумму углов $FAB$ и $FBA$:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)$.
Подставим значение суммы углов из первого пункта:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4) Теперь найдём величину угла $AFB$ в треугольнике $ABF$:
$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5) В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.
Подставим известные значения $AF = 21$ и $BF = 20$:
$AB^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841$.

6) Найдём длину $AB$:
$AB = \sqrt{841} = 29$.

Ответ: 29

Источник: ФИПИ