Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$. По условию задачи $BO : OH = 13 : 12$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{13}{12}$.

3) Пусть $AB = 13x$, тогда $AH = 12x$. По теореме Пифагора для треугольника $ABH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (13x)^2 - (12x)^2 = 169x^2 - 144x^2 = 25x^2$.
Отсюда $BH = 5x$.

4) Теперь найдём синус угла $A$ из прямоугольного треугольника $ABH$:
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{5x}{13x} = \frac{5}{13}$.

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$, отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности ($2R$):
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.

6) Подставим известные значения ($BC = 10$ и $\sin A = \frac{5}{13}$) в формулу:
$2R = \frac{10}{5/13} = 10 \cdot \frac{13}{5} = 2 \cdot 13 = 26$.

7) Найдём радиус $R$:
$R = \frac{26}{2} = 13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ