Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B$ , в отношении $13 : 12$ , считая от точки $B$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , если $B C = 20$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$ , проведённая к стороне $AC$ . Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ . Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$ . По условию задачи $BO : OH = 13 : 12$ .

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H = 90^\circ$ ). В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ . По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{13}{12}$ .

3) Пусть $AB = 13x$ , тогда $AH = 12x$ . По теореме Пифагора для треугольника $ABH$ :
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (13x)^2 - (12x)^2 = 169x^2 - 144x^2 = 25x^2$ .
Отсюда $BH = 5x$ .

4) Из треугольника $ABH$ найдём синус угла $A$ :
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{5x}{13x} = \frac{5}{13}$ .

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$ :
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ , где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 20$ и $\sin A = \frac{5}{13}$ :
$2R = \frac{20}{5/13} = 20 \cdot \frac{13}{5} = 4 \cdot 13 = 52$ .

6) Найдём радиус:
$R = \frac{52}{2} = 26$ .

Ответ: 26

Источник: ФИПИ