Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B$ , в отношении $5 : 3$ , считая от точки $B$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , если $B C = 8$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$ , проведённая к стороне $AC$ . Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ . Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$ . По условию задачи $BO : OH = 5 : 3$ .

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ . В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $O$ лежит на $AL$ ). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{5}{3}$ .

3) Пусть $AB = 5x$ , тогда $AH = 3x$ . Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём высоту $BH$ :
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = \sqrt{25x^2 - 9x^2} = \sqrt{16x^2} = 4x$ .

4) Теперь найдём синус угла $A$ из треугольника $ABH$ :
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5} = 0,8$ .

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$ , отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ .

6) Подставим известные значения ( $BC = 8$ , $\sin A = 0,8$ ) в формулу:
$2R = \frac{8}{0,8}$
$2R = 10$
$R = 5$ .

Ответ: 5

Источник: ФИПИ