Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$. По условию задачи $BO : OH = 5 : 3$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $O$ лежит на $AL$). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{5}{3}$.

3) Пусть $AB = 5x$, тогда $AH = 3x$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём высоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = \sqrt{25x^2 - 9x^2} = \sqrt{16x^2} = 4x$.

4) Теперь найдём синус угла $A$ из треугольника $ABH$:
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5} = 0,8$.

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$, отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.

6) Подставим известные значения ($BC = 8$, $\sin A = 0,8$) в формулу:
$2R = \frac{8}{0,8}$
$2R = 10$
$R = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ