Вариант 5 · Сентябрь 2026

Решение. Рассмотрим положение чисел $a$ и $b$ на координатной прямой относительно нуля.

1) Число $a$ находится слева от нуля, значит, оно отрицательное ($a < 0$).
2) Число $b$ находится справа от нуля, значит, оно положительное ($b > 0$).
3) По рисунку видно, что расстояние от нуля до точки $b$ больше, чем расстояние от нуля до точки $a$. Это означает, что модуль числа $b$ больше модуля числа $a$: $|b| > |a|$.

Для удобства проверки выберем конкретные значения, соответствующие рисунку. Пусть $a = -1$, а $b = 3$. Проверим каждое утверждение:

1) $a + b > 0$. Подставим наши значения: $-1 + 3 = 2$. Число $2 > 0$, значит, неравенство $a + b < 0$ неверно.
2) $a - b > 0$. Подставим: $-1 - 3 = -4$. Число $-4 < 0$, значит, неравенство неверно.
3) $a \cdot b^{2} > 0$. Так как $a$ — отрицательное число, а $b^{2}$ всегда положительно (для $b \neq 0$), их произведение должно быть отрицательным. Проверим: $-1 \cdot 3^{2} = -1 \cdot 9 = -9$. Число $-9 < 0$, значит, неравенство неверно.
4) $a \cdot b < 0$. Умножаем отрицательное число на положительное: $-1 \cdot 3 = -3$. Число $-3 < 0$, неравенство верно.

Таким образом, верным является только четвёртое утверждение.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, выполним действия по порядку.

Шаг 1. Возведём числитель дроби в квадрат. Согласно свойству степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$, нам нужно возвести в квадрат каждый множитель в скобках:
$(2\sqrt{3})^{2} = 2^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2}$

Шаг 2. Вычислим значения полученных степеней.
Мы знаем, что $2^{2} = 4$, а корень в квадрате даёт само подкоренное выражение, то есть $(\sqrt{3})^{2} = 3$.
Тогда числитель равен: $4 \cdot 3 = 12$.

Шаг 3. Подставим полученное значение в исходную дробь:
$\frac{12}{120}$

Шаг 4. Сократим дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на $12$:
$\frac{12}{120} = \frac{12 \div 12}{120 \div 12} = \frac{1}{10}$

Шаг 5. Запишем результат в виде десятичной дроби:
$\frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: 0,1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения линейного уравнения $1 - 10x = 5x + 10$ воспользуемся правилом переноса слагаемых: перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числа без переменной — в правую часть. При переносе через знак равенства знаки слагаемых меняются на противоположные.

1. Перенесём $5x$ из правой части в левую со знаком «минус», а единицу из левой части в правую также со знаком «минус»:
$-10x - 5x = 10 - 1$

2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части: $-10x - 5x = -15x$
В правой части: $10 - 1 = 9$
Получаем уравнение:
$-15x = 9$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = 9 : (-15)$
$x = -\frac{9}{15}$

4. Сократим полученную дробь на $3$:
$x = -\frac{3}{5}$

5. Переведём обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить числитель и знаменатель на $2$:
$x = -\frac{6}{10}$
$x = -0,6$

Ответ: -0,6

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество возможных исходов. Так как подарки распределяются случайным образом, Вите может достаться любой из закупленных пазлов. Всего было закуплено $10$ пазлов, значит, общее число исходов $n = 10$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором Вите достанется пазл с машиной. По условию задачи пазлов с машинами всего $5$. Значит, количество благоприятных исходов $m = 5$.

3. Вычислим вероятность $P$ по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{5}{10}$

4. Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{5}{10} = 0,5$

Таким образом, вероятность того, что Вите достанется пазл с машиной, составляет $0,5$.

Ответ: 0,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:
1. Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2. Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$ (так как при $x = 0$ получаем $y = c$). Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$, если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А (Рисунок 1):
- Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$.
- Парабола пересекает ось $Oy$ в верхней полуплоскости (выше нуля), значит, $c > 0$.
Этому соответствует вариант 3.

График Б (Рисунок 2):
- Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$.
- Парабола пересекает ось $Oy$ в нижней полуплоскости (ниже нуля), значит, $c < 0$.
Этому соответствует вариант 1.

График В (Рисунок 3):
- Ветви параболы направлены вниз, значит, $a < 0$.
- Парабола пересекает ось $Oy$ в верхней полуплоскости (выше нуля), значит, $c > 0$.
Этому соответствует вариант 2.

Заполним таблицу соответствия:
А — 3
Б — 1
В — 2

Ответ: 312

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой кинетической энергии, представленной на рисунках:
$E_k = \frac{mv^2}{2}$,
где $m$ — масса тела в килограммах, $v$ — скорость тела в метрах в секунду, $E_k$ — кинетическая энергия в джоулях.

1. Выпишем известные из условия значения:
Масса автомобиля $m = 1600$ кг.
Кинетическая энергия $E_k = 500$ тысяч джоулей. Переведём это число в стандартный вид: $E_k = 500 \cdot 1000 = 500\,000$ Дж.

2. Подставим данные значения в формулу:
$500\,000 = \frac{1600 \cdot v^2}{2}$

3. Упростим правую часть уравнения, разделив 1600 на 2:
$500\,000 = 800 \cdot v^2$

4. Теперь выразим квадрат скорости $v^2$. Для этого разделим обе части уравнения на 800:
$v^2 = \frac{500\,000}{800}$
Сократим на 100 (уберем по два нуля в числителе и знаменателе):
$v^2 = \frac{5000}{8}$
Выполним деление:
$v^2 = 625$

5. Чтобы найти скорость $v$, необходимо извлечь квадратный корень из 625. Так как скорость — величина положительная, берем только положительное значение:
$v = \sqrt{625}$
$v = 25$

Таким образом, скорость автомобиля составляет 25 м/с.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён промежуток между числами $-5$ и $5$. Точки закрашены, значит, границы входят в решение. Это соответствует неравенству $-5 \leq x \leq 5$.

2) Рассмотрим предложенные варианты неравенств. Заметим, что в вариантах 1 и 3 используется выражение $x^{2} + 25$.
Выражение $x^{2}$ всегда неотрицательно ($x^{2} \geq 0$), поэтому $x^{2} + 25$ всегда больше или равно 25.
Следовательно, неравенство $x^{2} + 25 \leq 0$ не имеет решений, а неравенство $x^{2} + 25 \geq 0$ верно при любом $x$. Эти варианты нам не подходят.

3) Рассмотрим варианты 2 и 4, где используется выражение $x^{2} - 25$.
Найдём корни уравнения $x^{2} - 25 = 0$:
$x^{2} = 25$
$x = 5$ или $x = -5$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 5]$ и $[5; +\infty)$.

4) Определим знаки функции $f(x) = x^{2} - 25$ на этих интервалах (метод интервалов):
— Если мы возьмём число из промежутка $[-5; 5]$, например $x = 0$, то $0^{2} - 25 = -25$. Это число меньше нуля ($-25 \leq 0$).
— Если мы возьмём число вне этого промежутка, например $x = 6$, то $6^{2} - 25 = 36 - 25 = 11$. Это число больше нуля ($11 \geq 0$).

5) Таким образом:
— Неравенству $x^{2} - 25 \leq 0$ соответствует внутренний промежуток $[-5; 5]$.
— Неравенству $x^{2} - 25 \geq 0$ соответствуют внешние промежутки $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

На рисунке заштрихован именно внутренний промежуток $[-5; 5]$, что соответствует неравенству под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Проанализируем условие задачи. Поезд за каждую следующую секунду проходит на одно и то же расстояние больше, чем за предыдущую. Это означает, что расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию.

Выпишем известные нам данные:
1) Расстояние за первую секунду — это первый член прогрессии: $a_1 = 0,6$ м.
2) Разность прогрессии (то, на сколько увеличивается путь каждую секунду): $d = 0,4$ м.
3) Время движения: $n = 8$ секунд.

Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые 8 секунд. В терминах прогрессии это сумма первых $n$ членов ($S_n$).

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в формулу:
$S_8 = \frac{2 \cdot 0,6 + 0,4 \cdot (8 - 1)}{2} \cdot 8$

Выполним вычисления по шагам:
1) Найдём значение в скобках: $8 - 1 = 7$.
2) Умножим разность на этот результат: $0,4 \cdot 7 = 2,8$.
3) Умножим первый член на два: $2 \cdot 0,6 = 1,2$.
4) Сложим полученные числа в числителе: $1,2 + 2,8 = 4,0$.
5) Теперь подставим результат в дробь: $S_8 = \frac{4}{2} \cdot 8$.
6) Разделим 4 на 2: $2 \cdot 8 = 16$.

Таким образом, за первые 8 секунд поезд прошёл 16 метров.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C = 90^\circ$. В таком треугольнике сторонами являются:
— $AB$ — гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла);
— $AC$ и $BC$ — катеты.

2. По определению, синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

3. Для угла $B$ противолежащим катетом является сторона $AC$, а гипотенузой — сторона $AB$. Запишем формулу:
$\sin B = \frac{AC}{AB}$

4. Подставим известные по условию значения сторон ($AC = 16$, $AB = 40$) в формулу:
$\sin B = \frac{16}{40}$

5. Сократим полученную дробь на $8$:
$\sin B = \frac{16 : 8}{40 : 8} = \frac{2}{5}$

6. Переведем обыкновенную дробь в десятичную для записи ответа:
$\frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение.

1) По условию задачи центр описанной окружности лежит на стороне $A B$. Это означает, что сторона $A B$ является диаметром данной окружности.

2) Вспомним важное свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Так как угол $C$ (или $\angle ACB$) опирается на диаметр $A B$, то $\angle ACB = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$.

3) Найдём длину гипотенузы $AB$. Поскольку радиус окружности $R = 10$, а диаметр равен двум радиусам, получаем:
$AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 = 20$.

4) Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABC$: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2 + BC^2 = AB^2$.

5) Подставим известные значения ($AC = 16$, $AB = 20$) в формулу:
$16^2 + BC^2 = 20^2$
$256 + BC^2 = 400$.

6) Выразим и найдём $BC^2$:
$BC^2 = 400 - 256$
$BC^2 = 144$.

7) Извлечём корень из полученного числа:
$BC = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. По условию $BC = 4$, $AD = 8$. Проведём диагональ $AC$. Угол между диагональю и основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Проведём высоту трапеции $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором $\angle CHA = 90^\circ$.

2) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший ($HD$) — полуразности оснований. Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

3) Теперь вернёмся к прямоугольному треугольнику $ACH$. Нам известно, что $\angle CAD = 45^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то второй острый угол $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

4) Поскольку в треугольнике $ACH$ два угла равны ($\angle CAH = \angle ACH = 45^\circ$), этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $CH = AH$.

5) Так как $AH = 6$, то и высота трапеции $CH = 6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма: $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.

1) Сначала найдём длину основания параллелограмма. На рисунке видно, что высота делит нижнюю сторону на два отрезка, длины которых равны $3$ и $7$. Следовательно, вся длина основания $a$ равна их сумме:
$a = 3 + 7 = 10$.

2) Теперь определим высоту параллелограмма. На рисунке проведена высота к найденному основанию, и её длина указана числом $4$. Таким образом, $h = 4$.

3) Вычислим площадь параллелограмма, подставив значения в формулу:
$S = 10 \cdot 4 = 40$.

Заметим, что боковая сторона, равная $5$, в данном случае является избыточным данным и не требуется для нахождения площади через основание и высоту.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ

Решение. Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на правила геометрии:

1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной».
Согласно аксиоме параллельных прямых (аксиоме Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, причём только одна. Следовательно, такая прямая существует. Утверждение верно.

2) «В тупоугольном треугольнике все углы тупые».
Мы знаем, что сумма всех углов любого треугольника равна $180^\circ$. Тупой угол — это угол, величина которого больше $90^\circ$. Если бы в треугольнике было хотя бы два тупых угла, их сумма уже превысила бы $180^\circ$, что невозможно. В тупоугольном треугольнике только один угол тупой, а остальные два — острые. Утверждение неверно.

3) «Любой квадрат является прямоугольником».
По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Поскольку у квадрата все углы прямые ($90^\circ$), он полностью соответствует определению прямоугольника. Утверждение верно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ