тема 7 из 15

Конус

Высота $h$ , радиус основания $r$ и образующая $l$ конуса — стороны прямоугольного треугольника: $l^2 = r^2 + h^2$ . Объём конуса — треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой: $V = \frac13 \pi r^2 h$ . Плоскость, параллельная основанию, отсекает у вершины подобный конус: если его высота равна $k$ от высоты, объём равен $k^3$ от объёма.

Часто в задании3На карте навыков

Конус: образующая, осевое сечение, объём
—В аналитике

Конус — треть цилиндра и прямоугольный треугольник

Конус с радиусом основания $r$ , высотой $h$ и образующей $l$ : объём $V = \frac13 \pi r^2 h$ , площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \pi r l$ .

Высота, радиус и образующая — стороны прямоугольного треугольника с гипотенузой $l$ : $l^2 = r^2 + h^2$ .
Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2r$ , боковыми сторонами $l$ и высотой $h$ .
Полная поверхность — основание и боковая поверхность: $S_{\text{полн}} = \pi r^2 + \pi r l$ .
Радиус больше в $k$ раз — объём больше в $k^2$ раз. Высота больше в $k$ раз — объём больше в $k$ раз (меняется один размер).
Сечение, параллельное основанию, отсекает подобный конус с коэффициентом $k$ — отношением высот от вершины. Его поверхность равна $k^2$ , а объём — $k^3$ от поверхности и объёма всего конуса (часть у основания).

Вершина

S

, центр основания

O

. Треугольник

SOB

прямоугольный.

Образующая по теореме Пифагора

Высота конуса перпендикулярна основанию. Поэтому высота $h$ , радиус $r$ и образующая $l$ — стороны прямоугольного треугольника с гипотенузой $l$ : $l^2 = r^2 + h^2$ (теорема Пифагора).

Если дан диаметр, сначала разделите его пополам. Если спрашивают диаметр, найдите радиус $r = \sqrt{l^2 - h^2}$ и умножьте на 2.

Пример

Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 10. Найдите образующую конуса.

Радиус — половина диаметра:

OB = 5

. Образующая

SB

— гипотенуза.

1. $r = 10 : 2 = 5$ .
2. $l^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ , $l = 13$ .

Ответ: $13$

Осевое сечение и угол наклона образующей

Осевое сечение — равнобедренный треугольник $SAB$ : основание $AB = 2r$ , боковые стороны $SA = SB = l$ , высота $SO = h$ . Угол между образующей и плоскостью основания — угол $SAO$ при основании этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике $SOA$ с углом $\alpha$ при вершине $A$ : $h = l \sin\alpha$ , $r = l \cos\alpha$ (синус и косинус острого угла). Значения для $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ — в таблице.

Пример

Образующая конуса равна 4 и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$ . Найдите объём конуса, делённый на $\pi$ .

Осевое сечение

SAB

: угол

SAO

— угол наклона образующей.

1. $h = 4 \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac12 = 2$ .
2. $r = 4 \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$ , поэтому $r^2 = 12$ .
3. $V = \frac13 \pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$ , $\frac{V}{\pi} = 8$ .

Ответ: $8$

Объём конуса

$V = \frac13 \pi r^2 h$ — треть объёма цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Если дана образующая, сначала найдите недостающий радиус или высоту по теореме Пифагора.

Радиус входит в формулу в квадрате, высота — в первой степени. Во сколько раз меняется объём, когда меняют один размер, — в подобных телах.

Пример

Радиус основания конуса равен 3, а образующая равна 5. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$ .

Высоту

SO

найдите из треугольника

SOB

1. $h^2 = l^2 - r^2 = 25 - 9 = 16$ , $h = 4$ .
2. $V = \frac13 \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi$ .
3. $\frac{V}{\pi} = 12$ .

Ответ: $12$

Жидкость в конусе

В сосуде вершиной вниз жидкость заполняет малый конус с той же вершиной. Он подобен всему сосуду. Если уровень равен $k$ от высоты, радиус поверхности жидкости тоже равен $k$ от радиуса, а объём жидкости — $k^3$ от объёма сосуда (подобные тела).

Уровень меряют от вершины. Вопрос «сколько долить» — разность объёма сосуда и объёма жидкости.

Пример

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac12$ высоты. Объём жидкости равен 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Жидкость — малый конус с той же вершиной

S

k = \frac12

1.Жидкость — конус, подобный сосуду, с коэффициентом $k = \frac12$ .
2.Объём сосуда больше в $2^3 = 8$ раз: $5 \cdot 8 = 40$ мл.
3.Долить нужно $40 - 5 = 35$ мл.

Ответ: $35$

Уровень и объём жидкости в конусе

V_{\text{ж}} = k^3 \cdot V

h_{\text{ж}}

\tfrac{6}{12}\,h

k = \frac{h_{\text{ж}}}{h} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

V_{\text{ж}} = k^3 \cdot V = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot V = \frac{1}{8}\,V

V - V_{\text{ж}} = \frac{7}{8}\,V

Уровень —

\frac{1}{2}

высоты, а жидкость занимает только

\frac{1}{8}

объёма сосуда: широкая часть сверху пустая.

Жидкость в коническом сосуде — малый конус, подобный сосуду. Его объём равен

k^3

Конус

Конус — треть цилиндра и прямоугольный треугольник

Образующая по теореме Пифагора

Осевое сечение и угол наклона образующей

Объём конуса

Жидкость в конусе

Уровень и объём жидкости в конусе

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык