тема 14 из 15

Составные многогранники

Многогранник, у которого все двугранные углы прямые, складывается из прямоугольных параллелепипедов. Его объём находят двумя способами: разбивают фигуру на параллелепипеды и складывают их объёмы или достраивают до целого параллелепипеда и вычитают вырез. Рёбра, которые не подписаны, находят как сумму или разность подписанных.

Реже в задании3На карте навыков

Составные многогранники по рисунку
—В аналитике

Разбейте на параллелепипеды или дополните до целого

Если все двугранные углы многогранника прямые, его грани — прямоугольники, и он составлен из прямоугольных параллелепипедов. Объём каждого — произведение трёх измерений (объём параллелепипеда).

Разбиение: проведите разрез по ступеньке, найдите объём каждой части и сложите.
Дополнение: достройте фигуру до целого параллелепипеда и вычтите объём выреза.
Неподписанное ребро равно сумме или разности подписанных: противоположные рёбра параллелепипеда равны.
Оба способа дают один ответ. Один способ проверяет другой.

Ступенька: два способа

Глубина ступеньки

2

Высота ступеньки

2

V_1 = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

V_2 = 4 \cdot 2 \cdot 5 = 40

V = 24 + 40 = 64

Высота передней части:

5 - 2 = 3

. Глубина задней части:

4 - 2 = 2

Ползунки меняют глубину и высоту ступеньки. Кнопки переключают способ: разбить на две части или дополнить до целого и вычесть вырез. Оба способа дают один объём.

Разбиение на параллелепипеды

Мысленно разрежьте фигуру плоскостью по грани ступеньки. Получатся прямоугольные параллелепипеды. Для каждого найдите три измерения на рисунке и перемножьте их. Объём фигуры — сумма объёмов частей.

Каждое ребро берите только у одной части: часть, которая стоит сверху, имеет свою высоту, а не высоту всей фигуры.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы - прямые).

Правильный ответ

Пояснение

Разрежьте фигуру по верхней грани нижнего блока. Нижний блок: $5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$ .
Верхний блок стоит на нижнем: ширина 1, глубина та же 2, высота 3. Его объём $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ .
$V = 30 + 6 = 36$ . Ответ: 36.

Дополнение до целого параллелепипеда

Если у фигуры один вырез, её удобно достроить до целого прямоугольного параллелепипеда. Габариты целого — наибольшие длина, глубина и высота фигуры. Объём фигуры — объём целого минус объём выреза. Вырез — тоже параллелепипед, его измерения видны на рисунке.

Пример

Многогранник получен из прямоугольного параллелепипеда $4 \times 3 \times 5$ : спереди вверху по всей длине 4 вырезан брусок глубиной 1 и высотой 2. Все двугранные углы прямые. Найдите объём многогранника.

Оранжевый брусок

4 \times 1 \times 2

достраивает фигуру до параллелепипеда

4 \times 3 \times 5

1.Целый параллелепипед: $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
2.Вырез: $4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$ .
3. $V = 60 - 8 = 52$ .
4.Проверка разбиением: передняя часть $4 \cdot 1 \cdot 3 = 12$ , задняя $4 \cdot 2 \cdot 5 = 40$ , вместе $52$ .

Ответ: $52$

Неподписанные рёбра

На рисунке часто подписаны габариты фигуры и размеры уступа, а измерения частей — нет. Противоположные рёбра прямоугольного параллелепипеда равны, поэтому измерение части равно сумме или разности подписанных рёбер. Высота нижней части — вся высота минус высота уступа. Глубина задней части — вся глубина минус глубина передней.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы - прямые).

Правильный ответ

Пояснение

Габариты фигуры: ширина 2, глубина 4, высота 4. Уступ спереди: глубина 2, высота 1.
Передняя часть: глубина 2, высота $4 - 1 = 3$ . Её объём $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .
Задняя часть: глубина $4 - 2 = 2$ , высота 4. Её объём $2 \cdot 2 \cdot 4 = 16$ .
$V = 12 + 16 = 28$ . Проверка дополнением: $2 \cdot 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 \cdot 1 = 32 - 4 = 28$ . Ответ: 28.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать