Сечение через середины рёбер

Пусть $D$ и $E$ — середины сторон $CA$ и $CB$ основания $ABC$. Треугольник $DCE$ подобен треугольнику $ACB$ с коэффициентом $\frac12$, поэтому его площадь равна $\frac14 S_{ABC}$ (площади подобных треугольников). Высота у отсечённой призмы та же, поэтому $V_{отс} = \frac14 V$.

Отсечённая призма не подобна исходной: её высота не уменьшилась. Поэтому объём делят на 4, а не на 8. Если дан объём отсечённой призмы, вся призма в 4 раза больше. Оставшаяся часть занимает $\frac34$ объёма.

Каждая боковая грань призмы — параллелограмм со стороной основания и боковым ребром. Грань $DCC_1D_1$ — половина грани $ACC_1A_1$: сторона $DC = \frac12 AC$, ребро то же. Так же $ECC_1E_1$ — половина грани $BCC_1B_1$. Новая грань $DEE_1D_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$, и $DE = \frac12 AB$, поэтому её площадь — тоже половина.

Вместе: $S_{бок.отс} = \frac12 S_{бок}$. Площадь здесь делят на 2, а не на 4: высота граней не изменилась, вдвое уменьшилась только их ширина (боковая поверхность призмы).

Плоскость проходит через середины $E$ и $F$ рёбер $CB$ и $CD$, которые выходят из вершины $C$, и параллельна третьему ребру $CC_1$. Она отрезает треугольную призму $ECFE_1C_1F_1$ с высотой куба. Её основание $ECF$ — прямоугольный треугольник с катетами $\frac a2$, его площадь $\frac12 \cdot \frac a2 \cdot \frac a2 = \frac{a^2}{8}$, то есть $\frac18$ квадрата $ABCD$.

Высота та же, поэтому $V_{призмы} = \frac18 V_{куба}$. У прямоугольного параллелепипеда так же: $\frac12 \cdot \frac a2 \cdot \frac b2 = \frac{ab}{8}$, и призма занимает $\frac18$ объёма.