тема 7 из 12

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение решают по определению логарифма: $\log_a f(x) = c$ значит $f(x) = a^c$ . Если с двух сторон логарифмы с одним основанием, приравнивают аргументы. Корень подходит, только если при нём каждый аргумент положителен.

Часто в задании7Реже в заданиях10 14На карте навыков

Логарифмические уравнения
—В аналитике

Как решить логарифмическое уравнение

$\log_a f(x) = c$ значит $f(x) = a^c$ . Это определение логарифма.

Логарифм равен числу: по определению $f(x) = a^c$ .
Логарифм равен логарифму с тем же основанием: $f(x) = g(x)$ .
Решите полученное уравнение, чаще всего линейное.
Проверьте, что при корне каждый аргумент положителен.

Логарифм равен числу

По определению $\log_a f(x) = c$ значит $f(x) = a^c$ : основание возводят в степень, равную правой части. Остаётся линейное уравнение.

Пример

$\log_5(20 - x) = 2$

1.По определению $20 - x = 5^2 = 25$ .
2. $x = 20 - 25 = -5$ .

Ответ: $-5$

Десятичный логарифм

$\lg b$ — это логарифм по основанию 10: $\lg b = \log_{10} b$ . Поэтому уравнение $\lg f(x) = c$ решают по определению с основанием 10: $f(x) = 10^c$ .

Пример

$\lg(x + 11) = 1$

1.По определению $x + 11 = 10^1 = 10$ .
2. $x = 10 - 11 = -1$ .

Ответ: $-1$

Логарифм равен логарифму

Если основания одинаковые, приравняйте аргументы: из $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ следует $f(x) = g(x)$ . Сами логарифмы вычислять не нужно. Это верно, потому что логарифмическая функция монотонна.

Пример

$\log_3(15 - x) = \log_3 7$

1.Основания одинаковые: $15 - x = 7$ .
2. $x = 15 - 7 = 8$ .

Ответ: $8$

Проверка корня

Логарифм есть только у положительного числа. При корне каждый аргумент должен быть положителен. Положительным должен быть аргумент, а не $x$ : корень $-5$ уравнения $\log_5(20 - x) = 2$ подходит.

В уравнении $\log_a f(x) = c$ проверка не нужна: аргумент равен $a^c > 0$ . Проверка нужна, когда $x$ стоит в двух аргументах.

Пример

$\log_3(x^2 - 4) = \log_3(3x)$

1.Основания одинаковые: $x^2 - 4 = 3x$ , то есть $x^2 - 3x - 4 = 0$ .
2. $D = 9 + 16 = 25$ , $x = 4$ или $x = -1$ .
3.При $x = -1$ аргумент $3x = -3 < 0$ : логарифма нет, корень посторонний.
4.При $x = 4$ оба аргумента равны $12 > 0$ : корень подходит.

Ответ: $4$

Разные основания

Если основания разные, аргументы приравнивать нельзя. Обозначьте общее значение логарифмов буквой $t$ . По определению оба аргумента — степени с показателем $t$ . Если одно основание — степень другого, выразите одну степень через другую.

Пример

$\log_2(x + 5) = \log_4(1 - x)$ . Если корней несколько, запишите меньший.

1.Пусть оба логарифма равны $t$ . Тогда $x + 5 = 2^t$ и $1 - x = 4^t = \left(2^t\right)^2$ .
2.Подставьте $2^t = x + 5$ : $(x + 5)^2 = 1 - x$ .
3.Раскройте квадрат суммы: $x^2 + 10x + 25 = 1 - x$ , то есть $x^2 + 11x + 24 = 0$ .
4.По формуле корней $D = 121 - 96 = 25$ , $x = -3$ или $x = -8$ .
5.При $x = -8$ аргумент $x + 5 = -3 < 0$ : корень посторонний. При $x = -3$ аргументы 2 и 4 положительны.
6.Остался один корень, поэтому выбирать меньший не нужно.

Ответ: $-3$

Логарифм в показателе

Если логарифм стоит в показателе степени, запишите обе части как степени одного основания и приравняйте показатели, как в показательных уравнениях. Получится уравнение «логарифм равен числу».

Пример

$3^{\log_9(4x + 1)} = 9$

1. $9 = 3^2$ , поэтому $3^{\log_9(4x + 1)} = 3^2$ .
2.Показатели равны: $\log_9(4x + 1) = 2$ .
3.По определению $4x + 1 = 9^2 = 81$ , $x = 20$ .

Ответ: $20$

Степень под логарифмом

Если под логарифмом стоит степень с $x$ в показателе, раскройте логарифм по определению. Получится показательное уравнение.

Пример

$\log_{27} 3^{5x + 5} = 2$

1.По определению $3^{5x + 5} = 27^2$ .
2. $27^2 = \left(3^3\right)^2 = 3^6$ , поэтому $5x + 5 = 6$ .
3. $x = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать