тема 9 из 10

Симметрия решений в задачах с параметром

Если уравнение не меняется при замене $x$ на $-x$ , его решения идут парами: $x_0$ и $-x_0$ . Поэтому единственное решение может быть только $x = 0$ : подстановка $x = 0$ даёт кандидатов для параметра. Это условие необходимое, но не достаточное: каждое найденное значение проверяют, и часть из них даёт больше одного решения.

Реже в задании19На карте навыков

Симметрия и чётность в задачах с параметром
—В аналитике

Решения парами: x₀ и −x₀

Задача не меняется при замене $x$ на $-x$ — значит, вместе с решением $x_0$ решением будет и $-x_0$ .

Проверьте симметрию: $x$ входит только через $|x|$ , $x^2$ и другие чётные выражения, или замена $x$ на $-x$ только меняет местами слагаемые.
Решение $x_0 \ne 0$ даёт второе решение $-x_0$ . Единственное решение возможно только при $x_0 = 0$ .
Подставьте $x = 0$ и найдите значения параметра, при которых $x = 0$ — решение.
Проверьте каждое найденное значение: докажите, что других решений нет, или найдите ещё одно решение и исключите значение.
Если условие допускает «нет решений», найдите такие значения параметра отдельно.

Как увидеть симметрию

Уравнение симметрично, если после замены $x$ на $-x$ оно не меняется. Так бывает, когда $x$ входит только через $|x|$ , $x^2$ , $x^4$ , $2^{|x|}$ . Сумма $|x - b| + |x + b|$ тоже не меняется: при замене два модуля меняются местами. В системе с $x$ и $y$ вместе с решением $(x_0; y_0)$ решением будет $(-x_0; y_0)$ .

Пара распадается только при $x_0 = -x_0$ , то есть при $x_0 = 0$ . Поэтому нечётное число решений, в том числе одно, бывает, только если среди решений есть $x = 0$ .

Решения симметричной системы

x^2 + y^2 = 9

y = x^2 + 1

a

1

Критические:

Решений: 2

a = 1

— не критическое значение.

Парабола

y = x^2 + a

и окружность симметричны относительно оси

y

, поэтому решения идут парами. Двигайте ползунок

a

и следите, когда число решений нечётно.

Единственное решение: x = 0

Если решение единственно, оно совпадает со своей парой, поэтому $x_0 = 0$ . Подставьте $x = 0$ и найдите значения параметра, при которых $x = 0$ — решение. Остальные значения параметра точно не подходят: при них решений нет или их чётное число.

В системе с окружностью $x^2 + y^2 = 1$ при $x = 0$ получается $y = \pm 1$ , и каждое значение $y$ даёт своё значение параметра. Проверять нужно оба.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых система
$\left\{\begin{matrix} 2^{\left|x\right| + 3} + 7 \left|x\right| + 1 = 8 y + 7 x^{2} + a , \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
имеет ровно одно решение.

Решение

$x$ входит в систему только через $|x|$ и $x^2$ : если $(x_0; y_0)$ — решение, то и $(-x_0; y_0)$ — решение. Единственное решение возможно только при $x_0 = 0$ .
При $x = 0$ : $y^2 = 1$ и $2^3 + 1 = 8y + a$ , то есть $a = 9 - 8y$ . $y = 1$ даёт $a = 1$ , $y = -1$ даёт $a = 17$ .
Проверка $a = 1$ . Так как $2^{|x| + 3} = 8 \cdot 2^{|x|}$ , первое уравнение даёт $y = 2^{|x|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{8}$ .
Из $x^2 + y^2 = 1$ следуют $|x| \le 1$ и $y \le 1$ . При $|x| \le 1$ дробь неотрицательна, а $2^{|x|} \ge 1$ , поэтому $y \ge 1$ . Значит, $y = 1$ , $2^{|x|} = 1$ , $x = 0$ : решение $(0; 1)$ единственное.
Проверка $a = 17$ . При $x = 1$ : $16 + 7 + 1 = 8y + 7 + 17$ , $y = 0$ , и $(1; 0)$ лежит на окружности. Решения $(0; -1)$ , $(1; 0)$ , $(-1; 0)$ — их три, значение не подходит.
Ответ: $a = 1$ .

Проверка каждого значения и случай «нет решений»

Условие $x = 0$ необходимо, но не достаточно. Подставьте каждое найденное значение параметра в исходную задачу и докажите, что других решений нет: оценкой ( $y \ge 1$ и $y \le 1$ ), монотонностью или прямым решением. Если нашлось ещё одно решение, значение исключают.

Если подходит и отсутствие решений («либо единственное, либо нет решений»), такие значения ищут отдельно: симметрия о них ничего не говорит. Удобно сравнить наименьшее значение левой части с наибольшим значением правой.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $x^4 + (a - 3)^2 = |x - a + 3| + |x + a - 3|$ либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

1.Пусть $b = a - 3$ : $x^4 + b^2 = |x - b| + |x + b|$ . Замена $x$ на $-x$ меняет модули местами, уравнение не меняется: корни идут парами $\pm x_0$ .
2.Единственный корень возможен только при $x = 0$ : $b^2 = 2|b|$ , $b = 0$ или $|b| = 2$ .
3.Правая часть — сумма расстояний от $x$ до точек $b$ и $-b$ : она равна $2|b|$ при $|x| \le |b|$ и $2|x|$ при $|x| > |b|$ .
4. $b = 0$ : $x^4 = 2|x|$ , корни $0$ и $\pm\sqrt[3]{2}$ — три корня, не подходит.
5. $|b| \ge 2$ . При $|x| \le |b|$ : $x^4 + b^2 \ge b^2 \ge 2|b|$ , равенство только при $x = 0$ и $|b| = 2$ . При $|x| > |b| \ge 2$ : $x^4 + b^2 > x^4 > 8|x| > 2|x|$ . Итак, при $|b| = 2$ единственный корень $x = 0$ , при $|b| > 2$ корней нет — оба случая подходят.
6. $0 < |b| < 2$ : при $x = 0$ левая часть $b^2$ меньше правой $2|b|$ , при $x = 2$ левая часть $16 + b^2$ больше правой $4$ . Разность частей непрерывна, значит, есть корень на $(0; 2)$ , а с ним и на $(-2; 0)$ : не подходит.
7.Подходят $|a - 3| \ge 2$ : $a \le 1$ или $a \ge 5$ .

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$

Симметрия вместе с параметром

Бывает, что система не меняется при одновременной замене $x$ на $-x$ и $a$ на $-a$ . Тогда при $a$ и при $-a$ решений поровну, и ответ симметричен относительно нуля. Решите задачу при $a \ge 0$ и отразите ответ.

Условие $x = 0$ здесь ничего не даёт: пара решения $(x_0; y_0)$ — это решение при другом значении параметра. Число решений при $a \ge 0$ находят графическим методом.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система $\begin{cases} |x - a| + |y| = 2, \\ y = \sqrt{4 - x^2} \end{cases}$ имеет ровно одно решение.

Полуокружность

y = \sqrt{4 - x^2}

. Пунктир — квадрат при

a = 2\sqrt{2} - 2

: правая сторона касается дуги. Оранжевый квадрат —

a = 4

: общая точка

(2; 0)

1.Замена $(x; a)$ на $(-x; -a)$ не меняет систему: $|-x + a| = |x - a|$ , $4 - (-x)^2 = 4 - x^2$ . При $a$ и $-a$ решений поровну: найдём подходящие $a \ge 0$ и отразим их.
2.Второе уравнение — верхняя полуокружность $x^2 + y^2 = 4$ , $y \ge 0$ . Первое — квадрат с вершинами $(a \pm 2; 0)$ и $(a; \pm 2)$ . При $y \ge 0$ работают стороны $y = x - a + 2$ ( $a - 2 \le x \le a$ ) и $y = -x + a + 2$ ( $a \le x \le a + 2$ ).
3. $a = 0$ : вершины $(-2; 0)$ , $(0; 2)$ , $(2; 0)$ лежат на дуге — три решения.
4.Левая сторона идёт от $(a - 2; 0)$ к $(a; 2)$ . При $0 < a < 4$ начало лежит внутри полукруга на диаметре, конец — вне круга: одна общая точка. При $a = 4$ общая точка — конец дуги $(2; 0)$ . При $a > 4$ общих точек нет.
5.Правая сторона лежит на прямой $x + y - a - 2 = 0$ , её расстояние до центра $\frac{a + 2}{\sqrt{2}}$ . При $a > 2\sqrt{2} - 2$ оно больше 2: общих точек нет. При $a = 2\sqrt{2} - 2$ касание в точке $(\sqrt{2}; \sqrt{2})$ стороны. При $0 < a < 2\sqrt{2} - 2$ основание перпендикуляра лежит на стороне, а концы стороны вне круга: две общие точки.
6.При $a \ge 0$ ровно одно решение: $2\sqrt{2} - 2 < a \le 4$ . По симметрии при $a \le 0$ : $-4 \le a < 2 - 2\sqrt{2}$ .

Ответ: $[-4; 2 - 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2} - 2; 4]$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать