Разбор случаев в задачах с параметром

Если при $x^2$ стоит выражение с параметром, уравнение $p(a)x^2 + q(a)x + r(a) = 0$ квадратное не при всех $a$. При $p(a) = 0$ оно линейное, и дискриминант к нему неприменим. Этот случай разбирают первым и отдельно, а при $p(a) \ne 0$ число корней даёт дискриминант. Ответ собирают из обоих случаев.

Линейное уравнение $kx = m$ при $k \ne 0$ имеет один корень. При $k = 0$ и $m = 0$ решение — любое $x$, при $k = 0$ и $m \ne 0$ решений нет. Например, $(a - 2)x = a^2 - 4$ при $a = 2$ верно при любом $x$, а при $a = -2$ даёт $x = 0$.

У квадратного уравнения два различных корня при $D > 0$, один при $D = 0$ и ни одного при $D < 0$ (формулы корней). С параметром $D$ — выражение от $a$. Решите $D > 0$, $D = 0$ и $D < 0$: так ось $a$ делится на части с разным числом корней.

При чётном коэффициенте $b = 2k$ удобнее $\frac{D}{4} = k^2 - ac$. На графике $D = 0$ означает касание: у прямой и параболы одна общая точка. «Ровно два различных корня» требует $D > 0$ и ненулевого старшего коэффициента.

Пусть $f(x) = x^2 + bx + c$, ветви параболы вверх, $M$ — число. Оба корня больше $M$ ровно тогда, когда $D > 0$, вершина правее $M$ ($x_{\text{в}} > M$) и $f(M) > 0$. Оба корня меньше $M$: $D > 0$, $x_{\text{в}} < M$, $f(M) > 0$. Число $M$ лежит между корнями ровно тогда, когда $f(M) < 0$, и дискриминант тогда проверять не нужно. В решении объясните условие одной фразой о графике: ветви вверх, $f(M) > 0$, вершина правее $M$ — значит, парабола пересекает ось правее $M$.

Если старший коэффициент $p$ может быть отрицательным, вместо $f(M)$ проверяют знак $p \cdot f(M)$. Для знаков корней ($M = 0$) удобна теорема Виета: оба корня положительны, когда $D > 0$, $x_1 x_2 > 0$ и $x_1 + x_2 > 0$. Если корни выражаются просто, выпишите их и сравните с $M$ прямо.

Если вершина параболы $x_{\text{в}}$ лежит на отрезке $[M; N]$ и ветви вверх, на $[M; x_{\text{в}}]$ функция убывает, а на $[x_{\text{в}}; N]$ возрастает. Поэтому меньший корень лежит на отрезке ровно тогда, когда $f(x_{\text{в}}) \le 0$ и $f(M) \ge 0$. Больший корень — когда $f(x_{\text{в}}) \le 0$ и $f(N) \ge 0$.

Если вершина вне отрезка, функция на нём монотонна: корень на отрезке есть ровно тогда, когда $f(M) \cdot f(N) \le 0$, и он один. Случай $D = 0$ (один корень) и случай корня на конце отрезка проверяют подстановкой.

Если выражение с $x$ повторяется, обозначьте его $t$ (замена). Найдите, какие значения принимает $t$ и сколько $x$ даёт каждое $t$. $t = x + \frac{9}{x}$: при $|t| > 6$ два $x$, при $t = \pm 6$ один, при $|t| < 6$ ни одного. $t = x - \frac{9}{x}$ принимает любое значение дважды: у уравнения $x^2 - tx - 9 = 0$ дискриминант $t^2 + 36 > 0$. $t = |x + 1|$ и $t = x^2$: при $t > 0$ два $x$, при $t = 0$ один. $t = 5^x$: каждое $t > 0$ даёт один $x$. $t = \sin^2 x$ на интервале $\left(0; \frac{\pi}{4}\right)$ принимает значения из $\left(0; \frac{1}{2}\right)$, каждое один раз. Так $\sin 3x + a\sin x = 0$ на этом интервале сводится к $4t = 3 + a$: по формулам сложения $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$, а $\sin x \ne 0$.

Потом решают уравнение для $t$ и считают только корни из области значений. Разные $t$ дают разные $x$, поэтому число решений — сумма по всем подходящим корням $t$. Условие «два $x$ на каждый корень» превращается в условие на положение корней уравнения для $t$.

Когда условие распадается на два уравнения, решения задачи — объединение их решений. Число различных решений равно сумме чисел решений минус общие решения. Общее решение удовлетворяет обоим уравнениям сразу: найдите его из системы этих уравнений и узнайте, при каком $a$ оно есть. «Ровно четыре решения» для двух квадратных уравнений требует: у каждого два корня, и общих корней нет.

«Хотя бы одно решение» — все $a$, кроме тех, при которых решений нет. «Не более одного решения» — ноль или одно. Часто проще найти, при каких $a$ решений нет, и взять остальные значения.

Если при фиксированном $a$ каждое неравенство задаёт луч или отрезок по $x$, система задаёт их пересечение. Решение есть ровно тогда, когда каждый левый конец не больше каждого правого. У строгого неравенства сравнение строгое.

При делении на выражение с $a$ учитывайте его знак. При $a > 0$ из $ax \ge 2$ следует $x \ge \frac{2}{a}$, а при $a \le 0$ и $x > 0$ решений нет. Поэтому сначала разберите знак $a$. Ту же систему можно решить и на плоскости $(x; a)$.

Задание 19 оценивают в 4 балла: 4 — обоснованно получен верный ответ. 3 балла ставят, если ответ отличается от верного только граничными точками. 2 балла — верным рассуждением получен один из промежутков ответа, возможно, с лишними граничными точками, или ответ неверен из-за вычислительной ошибки при верных шагах. 1 балл — задача верно сведена к исследованию (аналитически или графически).

Поэтому каждое особое значение $a$ проверяют отдельно: подставьте его в условие и посчитайте решения. Концы промежутков в ответе ставьте по этой проверке: квадратная скобка, если значение подходит, круглая — если нет. Отдельные подходящие значения выпишите через точку с запятой.