тема 6 из 10

Графический метод в задачах с параметром

Графический метод заменяет вопрос о числе решений вопросом о числе общих точек двух линий. Если параметр выражается, $a = f(x)$ , график строят на плоскости $(x; a)$ и ведут по нему горизонтальную прямую. Если в системе есть $x$ и $y$ , на плоскости $(x; y)$ рисуют неподвижную фигуру и подвижную линию. Число точек меняется только в критических положениях: касание, проход через конец, угол или выколотую точку.

Реже в задании19На карте навыков

Графический метод в задачах с параметром
—В аналитике

Число решений — число общих точек

Каждое решение уравнения или системы — общая точка двух линий. Постройте неподвижную линию точно, двигайте линию с параметром и считайте точки.

Уберите корни, логарифмы и модули: равносильные уравнения плюс условия-неравенства (ОДЗ, два случая модуля).
Выберите плоскость. Параметр выражается или уравнение с $x$ и $a$ задаёт известную линию — плоскость $(x; a)$ и прямая $a = \text{const}$ . Система с $x$ и $y$ — плоскость $(x; y)$ .
Постройте неподвижную фигуру: найдите координаты вершин, концов дуг, углов, выколотых точек и точек, где встречаются её части.
Найдите критические значения параметра: касание, проход через конец, угол или выколотую точку, положение параллельно части фигуры.
Сосчитайте точки в каждом критическом значении и на каждом промежутке между ними. Запишите ответ и проверьте каждый конец промежутка.

Параметр отдельно: прямая a = const

Если уравнение приводится к виду $a = f(x)$ , его корни при данном $a$ — абсциссы общих точек графика $a = f(x)$ и горизонтальной прямой $a = \text{const}$ на плоскости $(x; a)$ . Ось $x$ горизонтальна, ось $a$ вертикальна. График строят один раз, затем ведут прямую снизу вверх и считают точки.

Условие «знаменатель не равен нулю» или ОДЗ выкалывает точки графика. Прямая через выколотую точку теряет корень, поэтому такое значение $a$ исключают из ответа. Если параметр выражается через новую переменную, $a = g(t)$ с $t = |x + 1|$ , считайте точки графика при $t \ge 0$ и помните, что каждое $t > 0$ даёт два $x$ (замена).

Двигайте линию с параметром

a = x^2 - 4|x|

a = 2

a

2

Критические:

Корней: 2

a = 2

— не критическое значение.

Неподвижная фигура синяя, подвижная линия оранжевая, общие точки зелёные. Пунктир — критические положения. Двигайте ползунок

a

или нажмите критическое значение.

Ломаная

a = |4x| - x - 3

и выколотые точки на параболе

a = x^2 - x

. Пунктир — прямые

a = \text{const}

через вершину и выколотые точки.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно 2 различных решения.
$\frac{\left|4 x\right| - x - 3 - a}{x^{2} - x - a} = 0$

Решение

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: $a = |4x| - x - 3$ и $a \ne x^2 - x$ .
На плоскости $(x; a)$ первое условие — ломаная: $a = 3x - 3$ при $x \ge 0$ и $a = -5x - 3$ при $x < 0$ , вершина $(0; -3)$ . Левая ветвь убывает, правая возрастает.
Второе условие выкалывает точки ломаной на параболе $a = x^2 - x$ : $|4x| - x - 3 = x^2 - x$ , то есть $x^2 - 4|x| + 3 = 0$ , $|x| = 1$ или $|x| = 3$ . Выколоты точки $(1; 0)$ , $(3; 6)$ , $(-1; 2)$ , $(-3; 12)$ .
Корни при данном $a$ — абсциссы точек ломаной на прямой $a = \text{const}$ . При $a < -3$ точек нет, при $a = -3$ одна, при $a > -3$ две — по одной на каждой ветви.
Если прямая проходит через выколотую точку, то есть $a = 0$ , $2$ , $6$ или $12$ , одна из двух точек пропадает и корень остаётся один.
Ответ: $(-3; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; 12) \cup (12; +\infty)$ .

Уравнение с x и a как линия на плоскости (x; a)

Если $a$ не выражается, но уравнение с $x$ и $a$ задаёт известную линию, постройте её на плоскости $(x; a)$ . Выделение полных квадратов по $x$ и по $a$ даёт окружность. Корни при данном $a$ — абсциссы точек линии на прямой $a = \text{const}$ .

Уравнение $|f| = g$ равносильно условию $g \ge 0$ и двум уравнениям $f = g$ , $f = -g$ . Условие $g \ge 0$ — полуплоскость, и от каждой линии остаётся дуга. Точка, общая для двух дуг, даёт один корень, а не два.

Дуги окружностей не выше прямой

a = x

. Пунктир — прямые

a = \text{const}

через нижние и верхние точки окружностей и через концы дуг

(0; 0)

(1; 1)

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых уравнение
$\left|x^{2} + a^{2} - 6 x + 4 a\right| = 2 x - 2 a$
имеет ровно два различных решения.

Решение

Модуль равен правой части, поэтому $2x - 2a \ge 0$ , то есть $a \le x$ . При этом условии уравнение равносильно совокупности $x^2 + a^2 - 6x + 4a = 2x - 2a$ или $x^2 + a^2 - 6x + 4a = -(2x - 2a)$ .
Первое: $(x - 4)^2 + (a + 3)^2 = 25$ — окружность $\omega_1$ с центром $(4; -3)$ и радиусом 5. Второе: $(x - 2)^2 + (a + 1)^2 = 5$ — окружность $\omega_2$ с центром $(2; -1)$ и радиусом $\sqrt{5}$ .
Обе окружности пересекают прямую $a = x$ в точках $(0; 0)$ и $(1; 1)$ : например, $(x - 4)^2 + (x + 3)^2 = 25$ даёт $2x^2 - 2x = 0$ . Вычтем уравнения окружностей: $-4x + 4a = 0$ , значит, других общих точек у них нет. Остаются дуги не выше прямой $a = x$ .
Критические значения: $a = -8$ и $a = 2$ — низ и верх $\omega_1$ , $a = -1 - \sqrt{5}$ и $a = \sqrt{5} - 1$ — низ и верх $\omega_2$ , $a = 0$ и $a = 1$ — концы дуг.
При $-8 < a < -1 - \sqrt{5}$ прямая $a = \text{const}$ пересекает только $\omega_1$ : два корня. При $-1 - \sqrt{5} < a < 0$ и при $1 < a < \sqrt{5} - 1$ — обе окружности по два раза: четыре корня. При $0 < a < 1$ от каждой окружности остаётся одна точка: два корня. При $\sqrt{5} - 1 < a < 2$ — снова только $\omega_1$ : два корня.
В критических значениях корней нечётное число: при $a = 0$ корни $0$ , $4$ , $8$ ; при $a = 1$ корни $1$ , $3$ , $7$ ; при $a = -1 - \sqrt{5}$ и $a = \sqrt{5} - 1$ три корня; при $a = -8$ и $a = 2$ один корень.
Ответ: $(-8; -1 - \sqrt{5}) \cup (0; 1) \cup (\sqrt{5} - 1; 2)$ .

Решение на отрезке: полоса на плоскости (x; a)

Система неравенств с $x$ и $a$ задаёт на плоскости $(x; a)$ область: круг $(x - x_0)^2 + (a - a_0)^2 \le R^2$ , полуплоскость по одну сторону прямой. Условие «имеет решение на отрезке $[p; q]$ » оставляет часть области в вертикальной полосе $p \le x \le q$ .

Подходят те $a$ , при которых прямая $a = \text{const}$ задевает эту часть. Найдите самую нижнюю и самую верхнюю точки части в полосе. Строгое неравенство не включает свою границу: проверьте каждый конец ответа.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система неравенств $\begin{cases} x \le 2a + 6, \\ 6x \ge x^2 + a^2, \\ x + a > 0 \end{cases}$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1; 2]$ .

Круг

(x - 3)^2 + a^2 \le 9

, прямые

a = \frac{x - 6}{2}

a = -x

(пунктир: граница не входит), полоса

1 \le x \le 2

. Оранжевый отрезок — подходящие

a

при

x = 2

1. $6x \ge x^2 + a^2$ равносильно $(x - 3)^2 + a^2 \le 9$ — круг с центром $(3; 0)$ и радиусом 3. $x \le 2a + 6$ — полуплоскость $a \ge \frac{x - 6}{2}$ . $x + a > 0$ — полуплоскость $a > -x$ без границы.
2.В полосе $1 \le x \le 2$ круг даёт $a^2 \le 9 - (x - 3)^2$ . Правая часть наибольшая при $x = 2$ : $a^2 \le 8$ . Значит, при $|a| > 2\sqrt{2}$ решений на отрезке нет.
3.Условие $a > -x$ при $x \le 2$ даёт $a > -2$ : при $a \le -2$ получаем $x + a \le 2 + a \le 0$ , решений нет.
4.При $-2 < a \le 2\sqrt{2}$ подходит $x = 2$ : $2 \le 2a + 6$ , так как $a > -2$ ; $12 \ge 4 + a^2$ , так как $a^2 \le 8$ ; $2 + a > 0$ .

Ответ: $(-2; 2\sqrt{2}]$

Система с x и y: неподвижная фигура и подвижная линия

В системе уравнение без параметра задаёт неподвижную фигуру, уравнение с параметром — подвижную линию. Решения системы — их общие точки. Прямая $y = kx + a$ сдвигается параллельно (параллельные прямые), прямая $y - y_0 = a(x - x_0)$ поворачивается вокруг точки $(x_0; y_0)$ (пучок), уголок $y = |x - a|$ скользит вдоль оси $x$ (график модуля).

Уравнение $f \cdot \sqrt{h} = 0$ задаёт линию $h = 0$ целиком и часть линии $f = 0$ , где $h \ge 0$ (произведение с ОДЗ). Найдите точки, где эти части встречаются: в такой точке два множителя дают одно решение.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} (xy - 2x + 12)\sqrt{y - 2x + 12} = 0, \\ y = 3x + a \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Прямая

y = 2x - 12

, левая ветвь гиперболы и дуга

AB

. Пунктир — прямые

y = 3x + a

при

a = 14

-10

-13

-18

1.Произведение равно нулю, когда один множитель равен нулю, а корень имеет смысл: $y - 2x + 12 \ge 0$ . Первое уравнение задаёт прямую $y = 2x - 12$ целиком и часть гиперболы $y = 2 - \frac{12}{x}$ , где $y \ge 2x - 12$ .
2.Гипербола и прямая: $2 - \frac{12}{x} = 2x - 12$ , откуда $x^2 - 7x + 6 = 0$ , точки $A(1; -10)$ и $B(6; 0)$ . Условие $y \ge 2x - 12$ оставляет всю левую ветвь и дугу $AB$ правой ветви ( $1 \le x \le 6$ ).
3.Прямая $y = 3x + a$ пересекает прямую $y = 2x - 12$ ровно в одной точке $x = -12 - a$ . С гиперболой: $3x^2 + (a - 2)x + 12 = 0$ . Касание: $D = (a - 2)^2 - 144 = 0$ , $a = 14$ (точка $x = -2$ ) или $a = -10$ (точка $x = 2$ ).
4.Произведение корней равно 4, поэтому корни одного знака. При $a > 14$ оба корня отрицательны и лежат на левой ветви: три решения. При $a = 14$ касание: два решения. При $-10 < a < 14$ общих точек с гиперболой нет: одно решение.
5.При $a < -10$ корни положительны. Пусть $f(x) = 3x^2 + (a - 2)x + 12$ : $f(1) = a + 13$ , $f(6) = 6(a + 18)$ . Если $-13 < a < -10$ , то $D > 0$ , $f(1) > 0$ , $f(6) > 0$ , а вершина $\frac{2 - a}{6}$ лежит между 1 и 6: оба корня на дуге, три решения. При $a = -10$ касание на дуге: два решения.
6.При $a = -13$ прямая проходит через $A$ , второй корень $x = 4$ : решения $A$ и $(4; -1)$ — два. При $-18 < a < -13$ выполнено $f(1) < 0 < f(6)$ : на дуге одна точка, всего два решения. При $a = -18$ прямая проходит через $B$ , второй корень $\frac{2}{3}$ не на дуге: одно решение. При $a < -18$ на дуге точек нет: одно решение.

Ответ: $(-18; -13] \cup \{-10\} \cup \{14\}$

Критические положения и концы ответа

Число общих точек меняется только в критических положениях: касание, проход через конец дуги или луча, через угол или выколотую точку, положение параллельно части фигуры. Касание находят по дискриминанту: после подстановки у уравнения двойной корень, $D = 0$ . Для окружности удобнее расстояние от центра до прямой. Точка касания должна лежать на нужной части фигуры: проверьте её координаты.

Отметьте критические значения на оси $a$ и сосчитайте точки в каждом из них и на каждом промежутке между ними. От этой проверки зависит, входит ли конец промежутка в ответ, а ошибка в одном конце снижает оценку.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} (x^2 - 5x - y + 3)\sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = ax + a \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.

Прямая

y = x + 3

и дуга параболы

AB

. Пунктир — прямые через

P(-1; 0)

при

a = -1

(касание),

a = 1

a = \frac{9}{7}

(через

B

) и

a = 3

(через

A

1.Первое уравнение задаёт прямую $\ell$ : $y = x + 3$ и часть параболы $y = x^2 - 5x + 3$ , где $y \le x + 3$ : $x^2 - 6x \le 0$ , то есть $0 \le x \le 6$ . Это дуга с концами $A(0; 3)$ и $B(6; 9)$ ; оба конца лежат на $\ell$ .
2. $y = a(x + 1)$ — прямая через $P(-1; 0)$ с угловым коэффициентом $a$ . С прямой $\ell$ она имеет одну общую точку при $a \ne 1$ и ни одной при $a = 1$ .
3.С параболой: $f(x) = x^2 - (a + 5)x + 3 - a = 0$ . $D = a^2 + 14a + 13 = 0$ при $a = -1$ (касание в точке $x = 2$ , на дуге) и при $a = -13$ (касание в точке $x = -4$ , вне дуги). Через $A$ прямая проходит при $a = 3$ , через $B$ — при $a = \frac{9}{7}$ .
4. $f(0) = 3 - a$ , $f(6) = 9 - 7a$ . Если $-1 < a < \frac{9}{7}$ , то $D > 0$ , $f(0) > 0$ , $f(6) > 0$ , а вершина $\frac{a + 5}{2}$ лежит между 0 и 6: два корня на дуге. Если $\frac{9}{7} < a < 3$ , то $f(6) < 0 < f(0)$ : один корень на дуге. Если $a > 3$ , то $f(0) < 0$ и $f(6) < 0$ ; если $-13 < a < -1$ , то $D < 0$ ; если $a \le -13$ , оба корня отрицательны. В этих трёх случаях на дуге корней нет.
5.Точка на $\ell$ совпадает с точкой дуги только в $A$ или $B$ . Итог: $a < -1$ — одно решение; $a = -1$ — два; $-1 < a < 1$ — три; $a = 1$ — два, обе точки на дуге; $1 < a < \frac{9}{7}$ — три.
6. $a = \frac{9}{7}$ : точка $B$ и второй корень $x = \frac{2}{7}$ — два решения. $\frac{9}{7} < a < 3$ — два. $a = 3$ : второй корень $x = 8$ не на дуге, остаётся только $A$ — одно решение. $a > 3$ — одно.

Ответ: $\{-1\} \cup \{1\} \cup [\frac{9}{7}; 3)$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать