тема 8 из 10

Произведение с ОДЗ и параметром

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют. Поэтому корень каждого множителя проверяют на ОДЗ всего уравнения: корень логарифма годится, только если в нём определён корень, и наоборот. Корни разных множителей могут совпасть, и тогда различных корней меньше. Так же решают уравнения с общим множителем, с равенством квадратов, с равенством корней или логарифмов и с дробью, равной нулю.

Реже в задании19На карте навыков

Уравнение-произведение с ОДЗ и параметром
—В аналитике

Произведение с ОДЗ

$f \cdot g = 0$ равносильно совокупности $f = 0$ или $g = 0$ при условии, что оба множителя определены.

Выпишите ОДЗ: подкоренные выражения $\ge 0$ , аргументы логарифмов $> 0$ , знаменатели $\ne 0$ (ОДЗ).
Найдите корни каждого множителя через $a$ .
Оставьте корни, которые лежат в ОДЗ и на отрезке из условия. Каждое такое условие — неравенство для $a$ .
Найдите значения $a$ , при которых корни разных множителей совпадают.
Особые значения делят ось $a$ на промежутки. Посчитайте различные корни на каждом промежутке и в каждой особой точке.

Корень одного множителя и ОДЗ другого

Множитель $\sqrt{h}$ равен нулю там, где $h = 0$ , но это корень уравнения, только если там определён второй множитель (произведение с корнем). Корень множителя $\ln u$ — точка, где $u = 1$ ; он годится, только если в нём $h \ge 0$ . Условие «точка в ОДЗ» становится неравенством для $a$ .

Подкоренное выражение с параметром часто раскладывается на множители: $x^2 - 6x + 6a - a^2 = (x - a)(x + a - 6)$ . Его корни $x = a$ и $x = 6 - a$ на плоскости $(x; a)$ — две прямые. Горизонтальная прямая « $a$ = число» пересекает их в корнях уравнения при этом $a$ (плоскость x, a).

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых уравнение
$\ln \left(4 x - 1\right) \cdot \sqrt{x^{2} - 6 x + 6 a - a^{2}} = 0$
имеет ровно один корень на отрезке $\left[0 ; 3\right] .$

Решение

ОДЗ: $4x - 1 > 0$ , то есть $x > \frac{1}{4}$ , и $x^2 - 6x + 6a - a^2 = (x - a)(x + a - 6) \ge 0$ .
Первый множитель: $\ln(4x - 1) = 0$ при $x = \frac{1}{2}$ . Это корень, когда $\left(\frac{1}{2} - a\right)\left(a - \frac{11}{2}\right) \ge 0$ , то есть $\frac{1}{2} \le a \le \frac{11}{2}$ .
Второй множитель: $x = a$ или $x = 6 - a$ . Корень годится, когда он больше $\frac{1}{4}$ и лежит на $[0; 3]$ : $x = a$ при $\frac{1}{4} < a \le 3$ , $x = 6 - a$ при $3 \le a < \frac{23}{4}$ .
Совпадения: $a = 6 - a$ при $a = 3$ ; $a = \frac{1}{2}$ (корень $x = \frac{1}{2}$ у обоих множителей); $6 - a = \frac{1}{2}$ при $a = \frac{11}{2}$ .
$\frac{1}{4} < a < \frac{1}{2}$ : только $x = a$ . $a = \frac{1}{2}$ : только $x = \frac{1}{2}$ . Один корень.
$\frac{1}{2} < a < \frac{11}{2}$ : корень $x = \frac{1}{2}$ и ещё один из $x = a$ , $x = 6 - a$ (при $a = 3$ они совпадают). Два корня.
$a = \frac{11}{2}$ : только $x = \frac{1}{2}$ . $\frac{11}{2} < a < \frac{23}{4}$ : только $x = 6 - a$ . Один корень. При остальных $a$ корней на отрезке нет.
Ответ: $\frac{1}{4} < a \le \frac{1}{2};\ \frac{11}{2} \le a < \frac{23}{4}$ .

Корни на плоскости (x; a)

\ln(2x - 1)\sqrt{x^2 - 4x + 4a - a^2} = 0

При

a = 1{,}5

различных корней: 3. Это

x = 1;\ 1{,}5;\ 2{,}5

Прямые — корни множителей, закрашенная область — ОДЗ, оранжевая полоса на оси — отрезок

[0; 3]

. Двигайте прямую

a

: закрашенные точки — корни при этом

a

, пустые не подходят.

Совпадение корней разных множителей

Если корень одного множителя совпал с корнем другого, это одно решение, а не два. Значения $a$ , при которых корни совпадают, находят, приравнивая формулы корней или подставляя корень одного множителя в другой. При таком $a$ различных корней на один меньше, чем рядом, поэтому его проверяют отдельно.

В системе с прямой $y = kx + a$ подставьте $y$ и получите уравнение с одной неизвестной $x$ . Если один из множителей квадратный, его корни на отрезке ищут по значениям на концах.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} \left(x^{2} - 5 x - y + 3\right) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0 , \\ y = 3 x + a \end{matrix}\right.$
имеет ровно два различных решения.

Решение

Первое уравнение верно, если $x - y + 3 = 0$ , или если $y = x^2 - 5x + 3$ и $x - y + 3 \ge 0$ . Во втором случае $x - x^2 + 5x - 3 + 3 \ge 0$ , то есть $x^2 - 6x \le 0$ , $0 \le x \le 6$ .
Подставьте $y = 3x + a$ . Первый случай: $3x + a = x + 3$ , $x = \frac{3 - a}{2}$ — одно решение при любом $a$ .
Второй случай: $f(x) = x^2 - 8x + 3 - a = 0$ при $0 \le x \le 6$ . $\frac{D}{4} = 16 - 3 + a = a + 13$ : два корня при $a > -13$ , один корень $x = 4$ при $a = -13$ , нет корней при $a < -13$ .
Вершина $x = 4$ лежит на отрезке $[0; 6]$ . При $a > -13$ больший корень не больше 6, когда $f(6) = -9 - a \ge 0$ , то есть $a \le -9$ . Меньший корень не меньше 0, когда $f(0) = 3 - a \ge 0$ , то есть $a \le 3$ .
Совпадение: $x = \frac{3 - a}{2}$ — корень $f$ , когда $\left(\frac{3 - a}{2}\right)^2 - 3(3 - a) = 0$ , то есть $(a - 3)(a + 9) = 0$ : $a = 3$ или $a = -9$ .
$a < -13$ : одно решение. $a = -13$ : два ( $x = 8$ и $x = 4$ ). $-13 < a < -9$ : три. $a = -9$ : два, потому что корни $f$ — это $2$ и $6$ , а $x = 6$ совпал с первым случаем.
$-9 < a < 3$ : два. $a = 3$ : одно, потому что $x = 0$ совпал. $a > 3$ : одно.
Ответ: $a = -13;\ -9 \le a < 3$ .

Одинаковый множитель в обеих частях

Уравнение $g \cdot A = g \cdot B$ нельзя делить на $g$ : так теряются корни $g = 0$ . Перенесите всё в одну часть: $g \cdot (A - B) = 0$ . Корни: $g = 0$ при условии, что $A$ и $B$ определены, и $A = B$ при условии, что определён $g$ . Для логарифмов $\ln u = \ln v$ равносильно $u = v$ , $u > 0$ .

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\sqrt{2x - 1} \cdot \ln(3x - a) = \sqrt{2x - 1} \cdot \ln(4x + a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$ .

1.ОДЗ: $x \ge \frac{1}{2}$ , $3x - a > 0$ , $4x + a > 0$ . Уравнение: $\sqrt{2x - 1} \cdot (\ln(3x - a) - \ln(4x + a)) = 0$ .
2. $\sqrt{2x - 1} = 0$ при $x = \frac{1}{2}$ . Логарифмы определены: $\frac{3}{2} - a > 0$ и $2 + a > 0$ , то есть $-2 < a < \frac{3}{2}$ .
3. $\ln(3x - a) = \ln(4x + a)$ : $3x - a = 4x + a$ , $x = -2a$ . Условия: $3x - a = -7a > 0$ , то есть $a < 0$ , и $\frac{1}{2} \le -2a \le 1$ , то есть $-\frac{1}{2} \le a \le -\frac{1}{4}$ .
4.Корни совпадают: $-2a = \frac{1}{2}$ при $a = -\frac{1}{4}$ .
5. $-2 < a < -\frac{1}{2}$ : один корень $\frac{1}{2}$ . $-\frac{1}{2} \le a < -\frac{1}{4}$ : два. $a = -\frac{1}{4}$ : один. $-\frac{1}{4} < a < \frac{3}{2}$ : один. При остальных $a$ корней нет.

Ответ: $-2 < a < -\frac{1}{2};\ -\frac{1}{4} \le a < \frac{3}{2}$

Равенство квадратов

Уравнение $A^2 = B^2$ равносильно совокупности $A = B$ или $A = -B$ (разность квадратов). В частности, $(P + Q)^2 = (P - Q)^2$ после переноса даёт $4PQ = 0$ : $P = 0$ или $Q = 0$ , при условии, что оба выражения определены.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $(3x + \ln(x + a))^2 = (3x - \ln(x + a))^2$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 2]$ .

1.Перенесите и разложите: $4 \cdot 3x \cdot \ln(x + a) = 0$ . ОДЗ: $x + a > 0$ .
2. $x = 0$ — корень при $a > 0$ . $\ln(x + a) = 0$ при $x = 1 - a$ , ОДЗ выполнено: $x + a = 1$ .
3. $x = 1 - a$ лежит на $[0; 2]$ при $-1 \le a \le 1$ . Корни совпадают при $1 - a = 0$ , то есть $a = 1$ .
4. $a < -1$ : корней нет. $-1 \le a \le 0$ : один корень $x = 1 - a$ , а $x = 0$ не в ОДЗ. $0 < a < 1$ : два корня. $a \ge 1$ : один корень $x = 0$ .

Ответ: $-1 \le a \le 0;\ a \ge 1$

Равенство корней и логарифмов

$\sqrt{f} = \sqrt{g}$ равносильно системе $f = g$ , $f \ge 0$ : условие $g \ge 0$ лишнее, потому что $g = f$ . Так же $\log_c f = \log_c g$ равносильно системе $f = g$ , $f > 0$ . Условие ставят на ту часть, где оно проще. Если в условии есть параметр, оно отсекает решения при одних $a$ и оставляет при других.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система $\sqrt{a - y^2} = \sqrt{a - x^2}$ , $x^2 + y^2 = 4x + 6y$ имеет ровно два различных решения.

1.Первое уравнение: $a - y^2 = a - x^2$ и $a - x^2 \ge 0$ . То есть $y = x$ или $y = -x$ , и $x^2 \le a$ .
2. $y = x$ : $2x^2 = 10x$ , точки $(0; 0)$ и $(5; 5)$ . $y = -x$ : $2x^2 = -2x$ , точки $(0; 0)$ и $(-1; 1)$ .
3.Различных точек три. Условие $x^2 \le a$ : $(0; 0)$ годится при $a \ge 0$ , $(-1; 1)$ при $a \ge 1$ , $(5; 5)$ при $a \ge 25$ .
4.Ровно два решения — $(0; 0)$ и $(-1; 1)$ — при $1 \le a < 25$ .

Ответ: $1 \le a < 25$

Корень равен выражению

Уравнение $\sqrt{f} = g$ решают возведением в квадрат с условием $g \ge 0$ : $f = g^2$ , $g \ge 0$ . С параметром после возведения в квадрат уравнение часто раскладывается на множители. Каждый корень проверяют условием $g \ge 0$ , а одинаковые корни считают один раз.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\sqrt{8x^2 + 4ax + 4} = x^2 + ax + 2$ имеет ровно три различных решения.

1.Пусть $t = x^2 + ax + 2$ . Тогда $8x^2 + 4ax + 4 = 4t + 4x^2 - 4$ , и уравнение — это $\sqrt{4t + 4x^2 - 4} = t$ .
2.Равносильно: $t \ge 0$ и $t^2 = 4t + 4x^2 - 4$ , то есть $(t - 2)^2 = (2x)^2$ : $t = 2 + 2x$ или $t = 2 - 2x$ .
3. $t = 2 + 2x$ : $x^2 + ax = 2x$ , $x = 0$ или $x = 2 - a$ . Условие $t \ge 0$ : $x \ge -1$ , для $x = 2 - a$ это $a \le 3$ .
4. $t = 2 - 2x$ : $x = 0$ или $x = -2 - a$ . Условие $x \le 1$ , для $x = -2 - a$ это $a \ge -3$ .
5. $x = 0$ — корень при любом $a$ . Совпадения: $2 - a = 0$ при $a = 2$ , $-2 - a = 0$ при $a = -2$ ; корни $2 - a$ и $-2 - a$ различны всегда.
6.Три различных корня: $-3 \le a \le 3$ , кроме $a = \pm 2$ .

Ответ: $-3 \le a < -2;\ -2 < a < 2;\ 2 < a \le 3$

Дробь равна нулю

$\frac{f}{g} = 0$ равносильно системе $f = 0$ , $g \ne 0$ . Найдите корни числителя и выбросьте те, в которых знаменатель равен нулю. Корень числителя совпадает с нулём знаменателя при особых значениях $a$ : их находят, подставляя корень числителя в знаменатель.

Пример

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\frac{x^2 - 4a^2}{x^2 - 2x + 1 - a^2} = 0$ имеет ровно два различных корня.

1.Числитель: $x = 2a$ или $x = -2a$ . При $a = 0$ это один корень $x = 0$ , знаменатель в нём равен 1. Значение не подходит.
2.Знаменатель: $(x - 1)^2 - a^2 = 0$ при $x = 1 + a$ и $x = 1 - a$ .
3. $2a = 1 + a$ при $a = 1$ ; $2a = 1 - a$ при $a = \frac{1}{3}$ ; $-2a = 1 + a$ при $a = -\frac{1}{3}$ ; $-2a = 1 - a$ при $a = -1$ . При этих $a$ один корень выпадает.
4.При остальных $a \ne 0$ корней ровно два.

Ответ: $a \ne 0$ , $a \ne \pm\frac{1}{3}$ , $a \ne \pm 1$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать