Репет
Задание 2
тема 4 из 6

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов — число. По координатам оно равно x1x2+y1y2x_1x_2 + y_1y_2, через длины и угол — ∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡φ|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi. Если множители — выражения вроде a⃗+b⃗\vec a + \vec b, сначала найдите их координаты. Знак произведения показывает, острый угол между векторами, прямой или тупой.

Главная тема в задании2На карте навыков

Скалярное произведение — число

Скалярное произведение a⃗⋅b⃗\vec a \cdot \vec b — число, а не вектор. Его находят одной из двух формул: по координатам или через длины и угол между векторами.

  • По координатам: a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2.
  • Через длины и угол: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡φ\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi.
  • Множители — выражения, например a⃗+b⃗\vec a + \vec b и 5a⃗−b⃗5\vec a - \vec b: сначала координаты каждого множителя, потом произведение.
  • Знак: больше нуля — угол острый, нуль — прямой, меньше нуля — тупой.

Скалярное произведение по координатам

Для векторов a⃗(x1; y1)\vec a(x_1;\ y_1) и b⃗(x2; y2)\vec b(x_2;\ y_2) скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2. Первую координату умножают на первую, вторую — на вторую. Крест-накрест координаты не перемножают.

Отрицательный множитель берите в скобки: 3⋅(−2)=−63 \cdot (-2) = -6. Ответ бывает отрицательным и дробным.

Пример

Даны векторы a⃗(1,5; −4)\vec a(1{,}5;\ -4) и b⃗(−6; 2)\vec b(-6;\ 2). Найдите скалярное произведение a⃗⋅b⃗\vec a \cdot \vec b.

  1. 1.Первые координаты: 1,5⋅(−6)=−91{,}5 \cdot (-6) = -9.
  2. 2.Вторые координаты: −4⋅2=−8-4 \cdot 2 = -8.
  3. 3.a⃗⋅b⃗=−9+(−8)=−17\vec a \cdot \vec b = -9 + (-8) = -17.

Ответ: −17-17

Скалярное произведение и угол

a⃗=(5; 2), b⃗=(1; 4)\vec a = (5;\ 2),\ \vec b = (1;\ 4)
a⃗⋅b⃗=5⋅1+2⋅4=13\vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 13
∣a⃗∣=29, ∣b⃗∣=17|\vec a| = \sqrt{29},\ |\vec b| = \sqrt{17}
cos⁡φ=1329⋅17≈0,59, φ≈54∘\cos\varphi = \frac{13}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{17}} \approx 0{,}59,\ \varphi \approx 54^\circ
xy011φab

a⃗⋅b⃗>0\vec a \cdot \vec b > 0: угол между векторами острый.

Векторы a⃗\vec a и b⃗\vec b отложены от общего начала, φ\varphi — угол между ними. Двигайте концы векторов и следите за знаком произведения.

Произведение сумм и разностей

Если множители — выражения, например (a⃗+b⃗)⋅(5a⃗−b⃗)(\vec a + \vec b) \cdot (5\vec a - \vec b), сначала найдите координаты каждого множителя. Потом перемножьте их по формуле x1x2+y1y2x_1x_2 + y_1y_2. Так же считают (a⃗+b⃗)⋅c⃗(\vec a + \vec b) \cdot \vec c и произведение векторов a⃗+b⃗\vec a + \vec b и 7a⃗−b⃗7\vec a - \vec b.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Даны векторы a→(3;1)\overset{\rightarrow}{a} ( 3 ; 1 ) и b→(2;−6).\overset{\rightarrow}{b} ( 2 ; - 6 ) . Найдите значение выражения (a→+b→)(5a→−b→).\left(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}\right) \left(5 \overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b}\right) .

Через длины и угол между векторами

Если даны длины векторов и угол φ\varphi между ними, a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡φ\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi. Косинусы 30∘30^\circ, 45∘45^\circ и 60∘60^\circ берут из таблицы: cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac12.

Угол между векторами бывает от 0∘0^\circ до 180∘180^\circ. Косинус тупого угла отрицательный, его находят по формулам приведения: cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac12.

Пример

Длины векторов a⃗\vec a и b⃗\vec b равны 5 и 7, а угол между ними равен 60∘60^\circ. Найдите скалярное произведение a⃗⋅b⃗\vec a \cdot \vec b.

ab60°
∣a⃗∣=5|\vec a| = 5, ∣b⃗∣=7|\vec b| = 7, угол между векторами 60∘60^\circ.
  1. 1.a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡60∘\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos 60^\circ.
  2. 2.a⃗⋅b⃗=5⋅7⋅12=17,5\vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 7 \cdot \frac12 = 17{,}5.

Ответ: 17,517{,}5

Угол между векторами по координатам

Из двух формул скалярного произведения следует формула косинуса угла: cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=x1x2+y1y2x12+y12⋅x22+y22\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}. Длины всегда положительны, поэтому знак косинуса равен знаку скалярного произведения.

Произведение больше нуля — угол острый, меньше нуля — тупой. Произведение ненулевых векторов равно нулю, только если они перпендикулярны.

Пример

Даны векторы a⃗(6; 8)\vec a(6;\ 8) и b⃗(3; −4)\vec b(3;\ -4). Найдите косинус угла между ними.

abφ
Угол φ\varphi тупой: скалярное произведение отрицательное.
  1. 1.a⃗⋅b⃗=6⋅3+8⋅(−4)=18−32=−14\vec a \cdot \vec b = 6 \cdot 3 + 8 \cdot (-4) = 18 - 32 = -14.
  2. 2.∣a⃗∣=36+64=10|\vec a| = \sqrt{36 + 64} = 10, ∣b⃗∣=9+16=5|\vec b| = \sqrt{9 + 16} = 5.
  3. 3.cos⁡φ=−1410⋅5=−0,28\cos\varphi = \frac{-14}{10 \cdot 5} = -0{,}28.

Ответ: −0,28-0{,}28

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать