тема 6 из 6

Векторы на клетчатой бумаге

Если векторы нарисованы на клетчатой бумаге, их координаты считают по клеткам от начала вектора до конца. Вправо и вверх — плюс, влево и вниз — минус. Координаты конца стрелки — это не координаты вектора, если вектор начинается не в начале координат. Дальше задачу решают по координатам.

Часто в задании2На карте навыков

Чтение координат вектора с клетчатого рисунка
—В аналитике

Считайте клетки от начала до конца

Координаты нарисованного вектора — это его сдвиг от начала до конца, посчитанный по клеткам. Одна клетка — единица.

Найдите начало вектора (конец без стрелки) и его конец (стрелку).
Сосчитайте клетки по горизонтали: вправо — плюс, влево — минус. Это первая координата.
Сосчитайте клетки по вертикали: вверх — плюс, вниз — минус. Это вторая координата.
Дальше решайте по координатам: сумма, длина или скалярное произведение.

Координаты вектора по клеткам

\overrightarrow{AB} = (5 - 1;\ 2 - 4) = (4;\ -2)

От $A$ до $B$ : вправо на 4 клетки и вниз на 2 клетки.

Пунктир показывает сдвиг по горизонтали и по вертикали. Вправо и вверх — плюс, влево и вниз — минус. Двигайте начало

A

и конец

B

Координаты по концам вектора

Если концы вектора стоят в узлах сетки, прочитайте по осям координаты начала и конца. Потом из конца вычтите начало. Это то же самое, что счёт клеток, но для длинного вектора вычитание надёжнее.

Векторы в задании 2 обычно начинаются не в начале координат. Поэтому координаты точки, в которую смотрит стрелка, — ещё не координаты вектора. Из них всегда вычитают координаты начала.

Пример

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$ . Вектор $\vec a$ идёт из точки $(1;\ 2)$ в точку $(5;\ 5)$ , вектор $\vec b$ — из точки $(6;\ 4)$ в точку $(8;\ 1)$ . Найдите координаты векторов $\vec a$ и $\vec b$ .

Одна клетка — единица. Оба вектора начинаются не в точке

O

1. $\vec a = (5 - 1;\ 5 - 2) = (4;\ 3)$ : 4 клетки вправо и 3 вверх.
2. $\vec b = (8 - 6;\ 1 - 4) = (2;\ -3)$ : 2 клетки вправо и 3 вниз.

Ответ: $\vec a = (4;\ 3)$ , $\vec b = (2;\ -3)$

Длина вектора по рисунку

Сначала снимите координаты каждого вектора по клеткам. Потом найдите координаты выражения и его длину. Клетки вдоль наклонной стрелки не считают: длина наклонного вектора не равна числу клеток, через которые он проходит.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На координатной плоскости изображены векторы $\overset{\rightarrow}{a}$ и $\overset{\rightarrow}{b} ,$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\overset{\rightarrow}{a} + 4 \overset{\rightarrow}{b} .$

Правильный ответ

Пояснение

$\vec a$ идёт из $(1;\ 1)$ в $(4;\ 5)$ : $\vec a = (3;\ 4)$ .
$\vec b$ идёт из $(3;\ 3)$ в $(5;\ 2)$ : $\vec b = (2;\ -1)$ .
$4\vec b = (8;\ -4)$ , $\vec a + 4\vec b = (3 + 8;\ 4 - 4) = (11;\ 0)$ .
Вторая координата равна нулю, поэтому длина равна первой: $\sqrt{11^2 + 0^2} = 11$ . Ответ: 11.

Скалярное произведение по рисунку

Снимите координаты обоих векторов по клеткам и перемножьте их по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$ . Угол между векторами на глаз не измеряйте: формула через угол здесь не нужна.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На координатной плоскости изображены векторы $\overset{\rightarrow}{a}$ и $\overset{\rightarrow}{b} ,$ координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\overset{\rightarrow}{a} \cdot \overset{\rightarrow}{b} .$

Правильный ответ

Пояснение

$\vec a$ идёт из $(1;\ 2)$ в $(8;\ 5)$ : $\vec a = (7;\ 3)$ .
$\vec b$ идёт из $(1;\ 1)$ в $(6;\ 3)$ : $\vec b = (5;\ 2)$ .
$\vec a \cdot \vec b = 7 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 35 + 6 = 41$ . Ответ: 41.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать