тема 12 из 12

Если корней несколько

Если у уравнения несколько корней, в ответ идёт один. В задании 7 посторонние корни отсеивает проверка, а условие называет больший или меньший корень. В прикладной задаче задания 10 корень выбирают по смыслу: время и длина не бывают отрицательными, а формула описывает процесс только до его конца.

Часто в задании10Реже в заданиях7 14На карте навыков

Выбор корня уравнения по условию задачи
—В аналитике

Какой корень записать

Решите уравнение до конца, проверьте каждый корень, затем выберите из подходящих корней тот, который просит условие.

Проверьте каждый корень по уравнению и по смыслу задачи.
Если подходит один корень, его и записывают в ответ, даже когда условие просит больший или меньший.
Если подходят оба, выберите тот, который называет вопрос.

Сначала проверка, потом выбор

Посторонний корень часто оказывается меньшим, поэтому корень выбирают только после проверки. Корень уравнения с квадратным корнем проверяют знаком правой части, логарифмического — аргументами, дробного — знаменателями.

Когда корней два, «наименьший из корней» и «меньший из корней» значат одно и то же. Отрицательный корень меньше любого положительного: $-6{,}2 < 7$ .

Пример

$\log_2(x + 5) = \log_4(1 - x)$ . Если корней несколько, запишите меньший.

1.Уравнение сводится к $(x + 5)^2 = 1 - x$ , то есть $x^2 + 11x + 24 = 0$ . Корни $-8$ и $-3$ .
2.При $x = -8$ аргумент $x + 5 = -3 < 0$ : корень посторонний.
3.При $x = -3$ аргументы $2$ и $4$ положительны. Остался один корень, его и записывают.

Ответ: $-3$

Корень по смыслу

В задании 10 корень — это время, длина или другая физическая величина. Время после начала процесса и длина не бывают отрицательными, поэтому отрицательный корень отбрасывают. Так же выбирают корень в текстовой задаче.

Пример

Катушка лебёдки поворачивается на угол $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$ , где $\omega = 15$ град./мин, $\beta = 6$ град./мин², $t$ — время в минутах. Через сколько минут угол станет $2250^\circ$ ?

1. $15t + 3t^2 = 2250$ , то есть $t^2 + 5t - 750 = 0$ .
2. $D = 25 + 3000 = 3025 = 55^2$ , корни $25$ и $-30$ .
3.Время не бывает отрицательным, поэтому $t = 25$ .

Ответ: $25$

Один корень

Если дискриминант равен нулю, корень один, и выбирать не из чего. Так бывает, когда величина доходит до нуля в вершине параболы: вода вытекает из бака, пока высота столба не станет нулём.

Пример

Высота столба воды в баке $H(t) = 8 - \frac{2}{3}t + \frac{1}{72}t^2$ м, $t$ — время в минутах. Сколько минут вода будет вытекать?

1.Вода вытекает, пока высота не станет нулём: $\frac{1}{72}t^2 - \frac{2}{3}t + 8 = 0$ .
2.Умножьте на 72: $t^2 - 48t + 576 = 0$ .
3. $D = 2304 - 2304 = 0$ , корень один: $t = 24$ .

Ответ: $24$

Парабола и уровень

h(t) = -5t^2 + 9t + 1{,}4

H

3\ \text{м}

-5t^2 + 9t + 1{,}4 = 3

5t^2 - 9t + 1{,}6 = 0

D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1{,}6 = 49

t_1 = \frac{9 - 7}{10} = 0{,}2, \quad t_2 = \frac{9 + 7}{10} = 1{,}6

h(t) \ge 3

при

0{,}2 \le t \le 1{,}6

. Это

t_2 - t_1 = 1{,}6 - 0{,}2 = 1{,}4

с.

Корни уравнения

f(t) = H

— абсциссы точек, где парабола пересекает горизонтальную прямую на высоте

H

. Полоса на оси времени показывает промежуток между корнями. Выберите задачу и двигайте ползунок

H

Первый момент

Иногда оба корня положительны, а ответ — меньший корень: процесс доходит до нужного значения раньше. Второй корень может лежать после конца процесса, когда формула его уже не описывает. Так же прибор, который портится при перегреве, отключают в первый момент, когда температура доходит до предела.

Пример

Автомобиль тормозит, его путь $S = v_0 t - \frac{at^2}{2}$ , где $v_0 = 24$ м/с, $a = 3$ м/с². Через сколько секунд он проедет 90 м?

1. $24t - 1{,}5t^2 = 90$ . Умножьте на 2 и разделите на 3: $t^2 - 16t + 60 = 0$ .
2. $D = 256 - 240 = 16$ , корни $6$ и $10$ .
3.Путь — парабола с вершиной в момент $t = \frac{v_0}{a} = 8$ . В этот момент скорость $v = v_0 - at$ равна нулю, и автомобиль останавливается.
4.Корень $10$ лежит после остановки, поэтому $t = 6$ .

Ответ: $6$

Сколько времени величина не меньше значения

Величина поднимается выше значения в момент $t_1$ и опускается ниже него в момент $t_2$ . Между корнями она не меньше значения, поэтому ответ — разность корней $t_2 - t_1$ .

Разность корней уравнения $at^2 + bt + c = 0$ при $a > 0$ равна $\frac{\sqrt{D}}{a}$ : $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2\sqrt{D}}{2a}$ .

Пример

Высота мяча $h(t) = 1{,}4 + 9t - 5t^2$ м, $t$ — время в секундах. Сколько секунд мяч будет на высоте не менее 3 м?

1. $1{,}4 + 9t - 5t^2 = 3$ , то есть $5t^2 - 9t + 1{,}6 = 0$ .
2. $D = 81 - 32 = 49$ , $t = \frac{9 \pm 7}{10}$ : $t_1 = 0{,}2$ , $t_2 = 1{,}6$ .
3. $t_2 - t_1 = 1{,}6 - 0{,}2 = 1{,}4$ . Короткий путь: $\frac{\sqrt{49}}{5} = 1{,}4$ .

Ответ: $1{,}4$

Наибольшее или наименьшее значение

Слова «не менее», «не больше», «не превышать» задают границу. Замените неравенство равенством и решите уравнение: его корень — граничное значение. Затем по формуле решите, растёт или убывает величина вместе с неизвестной, и проверьте, что граница подходит к вопросу. Ответ переведите в единицы вопроса: 1,25 ч — это 75 мин.

Чтобы понять, растёт ли дробь, выделите целую часть: $\frac{21R_2}{21 + R_2} = 21 - \frac{441}{21 + R_2}$ растёт вместе с $R_2$ . А $\frac{c + 12}{c - 6} = 1 + \frac{18}{c - 6}$ убывает с ростом $c$ : тогда «не меньше» для дроби даёт «не больше» для $c$ .

Пример

Сопротивление $R = \frac{21R_2}{21 + R_2}$ Ом должно быть не меньше 18 Ом. Найдите наименьшее $R_2$ .

1.Граница: $\frac{21R_2}{21 + R_2} = 18$ , то есть $21R_2 = 18(21 + R_2)$ .
2. $3R_2 = 378$ , $R_2 = 126$ .
3. $R$ растёт вместе с $R_2$ , поэтому $R \ge 18$ при $R_2 \ge 126$ .

Ответ: $126$

Две величины в своих пределах

Если в формуле две величины и у каждой свои пределы, выразите искомую через другую. Чтобы искомая была наименьшей или наибольшей, возьмите другую на нужной границе. Затем проверьте, что ответ лежит в своих пределах.

Пример

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{30}$ , где $20 \le d_1 \le 40$ и $160 \le d_2 \le 180$ . Найдите наименьшее $d_1$ .

1. $\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}$ . Чем больше $d_2$ , тем больше $\frac{1}{d_1}$ и тем меньше $d_1$ .
2.Возьмите $d_2 = 180$ : $\frac{1}{d_1} = \frac{6}{180} - \frac{1}{180} = \frac{1}{36}$ , $d_1 = 36$ .
3. $36$ лежит в пределах от 20 до 40.

Ответ: $36$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать